TRIANGLE ÉQUILATÉRAL: CARACTÉRISTIQUES, PROPRIÉTÉS, FORMULES, AIRE - MATEMATIQUES - 2025

Un triangle équilatéral est un polygone à trois côtés, où ils sont tous égaux; c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure. Pour cette caractéristique, on lui a donné le nom d'équilatéral (côtés égaux).

Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont composés de trois côtés, trois angles et trois sommets. Dans le cas du triangle équilatéral, puisqu'il a des côtés égaux, cela implique que ses trois angles le seront également.

Un exemple de triangle équilatéral

Caractéristiques des triangles équilatéraux

- côtés égaux

Les triangles équilatéraux sont des figures plates et fermées, constituées de trois segments de ligne. Les triangles sont classés selon leurs caractéristiques, par rapport à leurs côtés et angles; l'équilatérale a été classée en utilisant la mesure de ses côtés comme paramètre, puisque ceux-ci sont exactement les mêmes, c'est-à-dire qu'ils sont congruents.

Le triangle équilatéral est un cas particulier du triangle isocèle car deux de ses côtés sont congruents. Ainsi, tous les triangles équilatéraux sont également isocèles, mais tous les triangles isocèles ne seront pas équilatéraux.

De cette manière, les triangles équilatéraux ont les mêmes propriétés qu'un triangle isocèle.

Les triangles équilatéraux peuvent également être classés par l'amplitude de leurs angles intérieurs comme un triangle aigu équilatéral, qui a trois côtés et trois angles intérieurs avec la même mesure. Les angles seront aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90 ^ou.

- Composants

Les triangles en général ont plusieurs lignes et points qui le composent. Ils sont utilisés pour calculer l'aire, les côtés, les angles, la médiane, la bissectrice, la bissectrice et la hauteur.

• La médiane: c'est une ligne qui part du milieu d'un côté et atteint le sommet opposé. Les trois médianes se rencontrent en un point appelé barycentre ou centroïde.
• La bissectrice: c'est un rayon qui divise l'angle des sommets en deux angles d'égale mesure, c'est pourquoi on l'appelle axe de symétrie. Le triangle équilatéral a trois axes de symétrie. Dans le triangle équilatéral, la bissectrice est tirée du sommet d'un angle vers son côté opposé, la coupant en son milieu. Ceux-ci se rencontrent à un point appelé incenter.
• La bissectrice: c'est un segment perpendiculaire au côté du triangle qui a son origine au milieu de celui-ci. Il y a trois médiateurs dans un triangle et ils se rencontrent en un point appelé le circumcenter.
• La hauteur: c'est la ligne qui va du sommet au côté opposé et aussi cette ligne est perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs qui coïncident en un point appelé orthocentre.

Dans le graphique suivant, nous voyons un triangle scalène où certaines des composantes mentionnées sont détaillées

La bissectrice, la médiane et la bissectrice coïncident

La bissectrice divise le côté d'un triangle en deux parties. Dans les triangles équilatéraux, ce côté sera divisé en deux parties exactement égales, c'est-à-dire que le triangle sera divisé en deux triangles rectangles congruents.

Ainsi, la bissectrice tirée de n'importe quel angle d'un triangle équilatéral coïncide avec la médiane et la bissectrice du côté opposé à cet angle.

Exemple:

La figure suivante montre le triangle ABC avec un point médian D qui divise l'un de ses côtés en deux segments AD et BD.

En traçant une ligne du point D au sommet opposé, on obtient par définition la médiane CD, qui est relative au sommet C et au côté AB.

Puisque le segment CD divise le triangle ABC en deux triangles égaux CDB et CDA, cela signifie que le cas de congruence sera maintenu: côté, angle, côté et donc CD sera également la bissectrice de BCD.

Un segment CD de traçage, l'angle du sommet est divisé en deux angles égaux de 30 ^ou de l'angle du sommet A mesure encore 60 ^ou et la ligne CD à un angle de 90 ^ou par rapport au point central D.

Le segment CD forme des angles qui ont la même mesure pour les triangles ADC et BDC, c'est-à-dire qu'ils sont complémentaires de telle sorte que la mesure de chacun sera:

Méd. (ADB) + Méd. (ADC) = 180 ^ou

2 _* Med. (ADC) = 180 ^ou

Méd. (ADC) = 180 ^ou ÷ 2

Moyenne (ADC) = 90 ^o.

Et donc, nous avons ce segment CD est également la bissectrice du côté AB.

La bissectrice et la hauteur coïncident

En dessinant la bissectrice du sommet d'un angle au milieu du côté opposé, il divise le triangle équilatéral en deux triangles congruents.

De sorte qu'un angle 90 soit formé ^ou (droit). Cela indique que ce segment de ligne est totalement perpendiculaire à ce côté et que, par définition, cette ligne serait la hauteur.

Ainsi, la bissectrice de tout angle d'un triangle équilatéral coïncide avec la hauteur par rapport au côté opposé de cet angle.

Ortocenter, barycenter, incenter et circumcenter coïncident

Comme la hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice sont représentées par le même segment en même temps, dans un triangle équilatéral les points de rencontre de ces segments - l'orthocentre, la bissectrice, l'incentive et le circumcenter - se trouveront au même point:

Propriétés

La propriété principale des triangles équilatéraux est qu'ils seront toujours des triangles isocèles, puisque les isocèles sont formés de deux côtés congruents et équilatéraux de trois.

De cette façon, les triangles équilatéraux ont hérité de toutes les propriétés du triangle isocèle:

Angles internes

La somme des angles est toujours égale à 180 ^ou, comme tous les angles sont congruents, chacun d'eux mesurera 60 ^ou.

Angles externes

La somme des angles extérieurs 360 sera toujours égale ^ou donc chaque angle extérieur mesurera 120 ^ou. En effet, les angles interne et externe sont supplémentaires, c'est-à-dire que lors de leur ajout, ils seront toujours égaux à 180 ^o.

Somme des côtés

La somme des mesures de deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, c'est-à-dire a + b> c, où a, b et c sont les mesures de chaque côté.

Côtés congruents

Les triangles équilatéraux ont les trois côtés avec la même mesure ou longueur; c'est-à-dire qu'ils sont congruents. Par conséquent, dans l'élément précédent, nous avons que a = b = c.

Angles congruents

Les triangles équilatéraux sont également appelés triangles équiangulaires, car leurs trois angles intérieurs sont congruents les uns avec les autres. En effet, tous ses côtés ont également la même mesure.

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé en ajoutant les côtés. Comme dans ce cas le triangle équilatéral a tous ses côtés avec la même mesure, son périmètre est calculé avec la formule suivante:

P = 3 _* côté.

Comment calculer la hauteur?

Puisque la hauteur est la ligne perpendiculaire à la base, elle la divise en deux parties égales en s'étendant jusqu'au sommet opposé. Ainsi, deux triangles rectangles égaux sont formés.

La hauteur (h) représente la jambe opposée (a), la moitié du côté AC à la jambe adjacente (b) et le côté BC représente l'hypoténuse (c).

En utilisant le théorème de Pythagore, la valeur de la hauteur peut être déterminée:

3 _* l = 450 m.

P = 3 _* l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Références

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