TRAPÈZE DROIT: PROPRIÉTÉS, RELATIONS ET FORMULES, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Un trapèze droit est une figure plate à quatre côtés, de sorte que deux d'entre eux sont parallèles l'un à l'autre, appelés bases et également l'un des autres côtés est perpendiculaire aux bases.

Pour cette raison, deux des angles internes sont droits, c'est-à-dire qu'ils mesurent 90 °. D'où le nom de «rectangle» qui est donné à la figure. L'image suivante d'un trapèze droit clarifie ces caractéristiques:

Éléments trapézoïdaux

Les éléments du trapèze sont:

-Bases

-Vertices

-La taille

-Angles internes

-Base moyenne

-Diagonales

Nous allons détailler ces éléments à l'aide des figures 1 et 2:

Figure 1. Un trapèze droit, caractérisé par deux angles internes de 90 °: A et B. Source: F. Zapata.

Les côtés du trapèze droit sont indiqués par des lettres minuscules a, b, c et d. Les coins de la figure ou des sommets sont indiqués en majuscules. Enfin les angles internes sont exprimés en lettres grecques.

Selon la définition, les bases de ce trapèze sont les côtés a et b, qui, comme observé, sont parallèles et ont également des longueurs différentes.

Le côté perpendiculaire aux deux bases est le côté c à gauche, qui est la hauteur h du trapèze. Et enfin, il y a le côté d, qui forme l'angle aigu α avec le côté a.

La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est de 360 ​​°. Il est facile de voir que l'angle manquant C sur la figure est 180 - α.

La base médiane est le segment joignant les milieux des côtés non parallèles (segment EF sur la figure 2).

Figure 2. Les éléments du trapèze droit. Source: F. Zapata.

Et enfin il y a les diagonales d ₁ et d ₂, les segments qui rejoignent les sommets opposés et qui se coupent au point O (voir figure 2).

Relations et formules

Hauteur du trapèze h

Périmètre P

C'est la mesure du contour et se calcule en ajoutant les côtés:

Le côté d est exprimé en termes de hauteur ou de côté c par le théorème de Pythagore:

Substituer dans le périmètre:

Base moyenne

C'est la demi-somme des bases:

Parfois, la base moyenne se trouve exprimée comme ceci:

Zone

L'aire A du trapèze est le produit de la base moyenne par la hauteur:

Diagonales, côtés et angles

Dans la figure 2, plusieurs triangles apparaissent, à la fois droits et non droits. Le théorème de Pythagore peut être appliqué à ceux qui sont des triangles rectangles et à ceux qui ne le sont pas, les théorèmes cosinus et sinus.

De cette manière, des relations sont trouvées entre les côtés et entre les côtés et les angles internes du trapèze.

Triangle CPA

C'est un rectangle, ses pattes sont égales et valent b, tandis que l'hypoténuse est la diagonale d ₁, donc:

Triangle DAB

C'est aussi un rectangle, les pattes sont a et c (ou aussi ayh) et l'hypoténuse est d ₂, de sorte que:

Triangle CDA

Puisque ce triangle n'est pas un triangle rectangle, le théorème du cosinus lui est appliqué, ou aussi le théorème du sinus.

Selon le théorème du cosinus:

Triangle CDP

Ce triangle est droit et avec ses côtés les rapports trigonométriques de l'angle α sont construits:

Mais le côté PD = a - b, donc:

Vous avez aussi:

Triangle CBD

Dans ce triangle nous avons l'angle dont le sommet est en C. Il n'est pas marqué sur la figure, mais au début on a mis en évidence qu'il est de 180 - α. Ce triangle n'est pas un triangle rectangle, donc le théorème du cosinus ou le théorème du sinus peut être appliqué.

Maintenant, on peut facilement montrer que:

Application du théorème cosinus:

Exemples de trapèzes droits

Les trapèzes et en particulier les trapèzes droits se trouvent sur de nombreux côtés, et parfois pas toujours sous une forme tangible. Ici, nous avons plusieurs exemples:

Le trapèze comme élément de design

Les figures géométriques abondent dans l'architecture de nombreux bâtiments, comme cette église de New York, qui montre une structure en forme de trapèze rectangulaire.

De même, la forme trapézoïdale est fréquente dans la conception de récipients, récipients, lames (cutter ou exact), assiettes et dans la conception graphique.

Figure 3. Ange à l'intérieur d'un trapèze rectangle dans une église de New York. Source: David Goehring via Flickr.

Générateur d'ondes trapézoïdales

Les signaux électriques peuvent non seulement être carrés, sinusoïdaux ou triangulaires. Il existe également des signaux trapézoïdaux qui sont utiles dans de nombreux circuits. Sur la figure 4, il y a un signal trapézoïdal composé de deux trapèzes droits. Entre eux, ils forment un seul trapèze isocèle.

Figure 4. Un signal trapézoïdal. Source: Wikimedia Commons.

En calcul numérique

Pour calculer sous forme numérique l'intégrale définie de la fonction f (x) entre a et b, nous utilisons la règle du trapèze pour approcher l'aire sous le graphe de f (x). Dans la figure suivante, sur la gauche, l'intégrale est approchée avec un seul trapèze droit.

Une meilleure approximation est celle de la figure de droite, avec plusieurs trapèzes droits.

Figure 5. Une intégrale définie entre a et b n'est rien d'autre que l'aire sous la courbe f (x) entre ces valeurs. Un trapèze droit peut servir de première approximation pour une telle zone, mais plus il y a de trapèzes utilisés, meilleure est l'approximation. Source: Wikimedia Commons.

Poutre avec charge trapézoïdale

Les forces ne sont pas toujours concentrées sur un seul point, car les corps sur lesquels elles agissent ont des dimensions appréciables. Tel est le cas d'un pont sur lequel circulent des véhicules en continu, l'eau d'une piscine sur les parois verticales de celle-ci ou un toit sur lequel s'accumule de l'eau ou de la neige.

Pour cette raison, les forces sont réparties par unité de longueur, de surface ou de volume, en fonction du corps sur lequel elles agissent.

Dans le cas d'une poutre, une force répartie par unité de longueur peut avoir différentes distributions, par exemple le trapèze droit illustré ci-dessous:

Figure 6. Charges sur une poutre. Source: Bedford, A. 1996. Statique. Addison Wesley Interamericana.

En réalité, les distributions ne correspondent pas toujours à des formes géométriques régulières comme celle-ci, mais elles peuvent être une bonne approximation dans de nombreux cas.

En tant qu'outil éducatif et d'apprentissage

Les blocs et les images de forme géométrique, y compris les trapèzes, sont très utiles pour familiariser les enfants avec le monde fascinant de la géométrie dès leur plus jeune âge.

Figure 7. Blocs aux formes géométriques simples. Combien de trapèzes droits sont cachés dans les blocs? Source: Wikimedia Commons.

Exercices résolus

- Exercice 1

Dans le trapèze droit de la figure 1, la base la plus grande mesure 50 cm et la base la plus petite est égale à 30 cm, on sait également que le côté oblique mesure 35 cm. Trouver:

a) Angle α

b) Hauteur

c) Périmètre

d) Base moyenne

e) Zone

f) Diagonales

Solution pour

Les données du relevé sont résumées comme suit:

a = base plus grande = 50 cm

b = base plus petite = 30 cm

d = côté oblique = 35 cm

Pour trouver l'angle α, nous visitons la section formules et équations, pour voir laquelle est celle qui convient le mieux aux données fournies. L'angle recherché se trouve dans plusieurs des triangles analysés, par exemple le CDP.

Là, nous avons cette formule, qui contient l'inconnu et aussi les données que nous connaissons:

Donc:

Il efface h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

Et pour la diagonale d ₂:

Références

1. Baldor, A. 2004. Géométrie plane et spatiale avec trigonométrie. Publications culturelles.
2. Bedford, A. 1996. Statique. Addison Wesley Interamericana.
3. Géométrie Jr. 2014. Polygones. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Trapèze rectangulaire. Récupéré de: es.onlinemschool.com.
5. Solutionneur automatique de problèmes de géométrie. Le trapèze. Récupéré de: scuolaelettrica.it
6. Wikipédia. Trapèze (géométrie). Récupéré de: es.wikipedia.org.