TRAPÈZE SCALÈNE: PROPRIÉTÉS, FORMULES ET ÉQUATIONS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

Un trapèze scalène est un polygone à quatre côtés, dont deux sont parallèles les uns aux autres, et avec ses quatre angles intérieurs de mesures différentes.

Le quadrilatère ABCD est illustré ci-dessous, où les côtés AB et DC sont parallèles l'un à l'autre. Cela suffit pour que ce soit un trapèze, mais aussi, les angles intérieurs α, β, γ et δ sont tous différents, donc le trapèze est scalène.

Figure 1. Le quadrilatère ABCD est trapézoïdal par condition 1 et scalène par condition 2. Source: F. Zapata.

Éléments du trapèze scalène

Voici les éléments les plus caractéristiques:

-Bases et côtés: les côtés parallèles du trapèze sont ses bases et les deux côtés non parallèles sont les côtés.

Dans un trapèze scalène, les bases sont de longueurs différentes et les latérales également. Cependant, un trapèze scalène peut avoir une longueur latérale égale à une base.

-Médian: c'est le segment qui rejoint les milieux des latéraux.

-Diagonales: la diagonale d'un trapèze est le segment qui joint deux sommets opposés. Un trapèze, comme chaque quadrilatère, a deux diagonales. Dans le trapèze scalène, ils sont de longueur différente.

Autres trapèzes

Outre le trapèze scalène, il existe d'autres trapèzes particuliers: le trapèze droit et le trapèze isocèle.

Un trapèze est un rectangle lorsque l'un de ses angles est droit, tandis qu'un trapèze isocèle a ses côtés de longueur égale.

La forme trapézoïdale a de nombreuses applications au niveau du design et de l'industrie, comme dans la configuration des ailes d'avion, la forme des objets du quotidien tels que les tables, les dossiers de chaise, les emballages, les sacs à main, les imprimés textiles et plus encore.

Figure 2. La forme trapézoïdale est courante dans la configuration des ailes des avions. Source: Wikimedia Commons.

Propriétés

Les propriétés du trapèze scalène sont énumérées ci-dessous, dont beaucoup s'étendent aux autres types de trapèze. Dans ce qui suit, quand on parle de "trapèze", la propriété s'appliquera à n'importe quel type, y compris le scalène.

1. La médiane du trapèze, c'est-à-dire le segment qui rejoint les milieux de ses côtés non parallèles, est parallèle à l'une des bases.

2.- La médiane d'un trapèze a une longueur qui est le demi-total de celle de ses bases et coupe ses diagonales au milieu.

3.- Les diagonales d'un trapèze se coupent en un point qui les divise en deux sections proportionnelles aux quotients des bases.

4.- La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés de ses côtés plus le double produit de ses bases.

5.- Le segment qui rejoint les milieux des diagonales a une longueur égale à la demi-différence des bases.

6.- Les angles adjacents aux latéraux sont supplémentaires.

7.- Dans un trapèze scalène, les longueurs de ses diagonales sont différentes.

8.- Un trapèze n'a une circonférence inscrite que si la somme de ses bases est égale à la somme de ses côtés.

9.- Si un trapèze a une circonférence inscrite, alors l'angle avec le sommet au centre de ladite circonférence et les côtés qui passent par les extrémités du côté du trapèze est droit.

10.- Un trapèze scalène n'a pas de circonférence circonscrite, le seul type de trapèze qui en a est isocèle.

Formules et équations

Les relations suivantes du trapèze scalène sont référées à la figure suivante.

1.- Si AE = ED et BF = FC → EF - AB et EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 soit: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d _une / 2 et AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) de même CJ / JA = (c / a).

Figure 3. Médiane et diagonales d'un trapèze scalène. Source: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

De manière équivalente:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

C'est-à-dire:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ et β + γ = 180⁰

8.- Si α ≠ β ≠ γ ≠ δ alors d1 ≠ d2.

9.- La figure 4 montre un trapèze scalène qui a une circonférence inscrite, dans ce cas il est vrai que:

a + c = d + b

10.- Dans un trapèze scalène ABCD avec une circonférence inscrite de centre O, ce qui suit est également vrai:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figure 4. Si dans un trapèze on vérifie que la somme de ses bases est égale à la somme des latérales, alors il y a la circonférence qui y est inscrite. Source: F. Zapata.

la taille

La hauteur d'un trapèze est définie comme le segment qui va d'un point de la base perpendiculairement à la base opposée (ou son extension).

Toutes les hauteurs du trapèze ont la même mesure h, donc la plupart du temps le mot hauteur fait référence à sa mesure. En bref, la hauteur est la distance ou la séparation entre les bases.

La hauteur h peut être déterminée en connaissant la longueur d'un côté et l'un des angles adjacents au côté:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Médian

La mesure m de la médiane du trapèze est la demi-somme des bases:

m = (a + b) / 2

Diagonales

d ₁ = √

d ₂ = √

Il peut également être calculé si seule la longueur des côtés du trapèze est connue:

d ₁ = √

d ₂ = √

Périmètre

Le périmètre est la longueur totale du contour, c'est-à-dire la somme de tous ses côtés:

P = a + b + c + d

Zone

L'aire d'un trapèze est le demi-total de ses bases multiplié par sa hauteur:

A = h ∙ (a + b) / 2

Il peut également être calculé si la médiane m est connue et la hauteur h:

A = m ∙ h

Dans le cas où seule la longueur des côtés du trapèze est connue, la zone peut être déterminée en utilisant la formule de Heron pour le trapèze:

A = ∙ √

Où s est le demi-mètre: s = (a + b + c + d) / 2.

Autres rapports pour le trapèze scalène

L'intersection de la médiane avec les diagonales et la parallèle qui passe par l'intersection des diagonales donne lieu à d'autres relations.

Figure 5. Autres relations pour le trapèze scalène. Source: F. Zapata.

-Relations pour le FE médian

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relations pour le segment parallèle aux bases KL, et passant par le point d' intersection J des diagonales

Si KL - AB - DC avec J ∈ KL, alors KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Construction du trapèze scalène avec règle et boussole

Compte tenu des bases des longueurs a et c, où a> cy avec des côtés de longueurs b et d, où b> d, procédez comme suit (voir figure 6):

1.- Avec la règle, le segment de l'AB majeur est dessiné.

2.- A partir de A se et sur AB, marquer le point P pour que AP = c.

3.- Avec la boussole avec le centre en P et le rayon d un arc est dessiné.

4.- Un centre est fait en B avec un rayon b, dessinant un arc qui intercepte l'arc dessiné à l'étape précédente. Nous appelons Q le point d'intersection.

Figure 6. Construction d'un trapèze scalène compte tenu de ses côtés. Source: F. Zapata.

5.- Avec le centre en A, dessinez un arc de rayon d.

6.- Avec le centre en Q, dessinez un arc de rayon c qui intercepte l'arc dessiné à l'étape précédente. Le point de coupure s'appellera R.

7.- Les segments BQ, QR et RA sont dessinés avec la règle.

8.- Le quadrilatère ABQR est un trapèze scalène, puisque APQR est un parallélogramme, ce qui garantit que AB - QR.

Exemple

Les longueurs suivantes sont données en cm: 7, 3, 4 et 6.

a) Déterminez si avec eux il est possible de construire un trapèze scalène qui peut circonscrire un cercle.

b) Trouvez le périmètre, l'aire, la longueur des diagonales et la hauteur dudit trapèze, ainsi que le rayon du cercle inscrit.

- Solution pour

En utilisant les segments de longueur 7 et 3 comme bases et ceux de longueur 4 et 6 comme côtés, un trapèze scalène peut être construit en utilisant la procédure décrite dans la section précédente.

Reste à vérifier s'il a une circonférence inscrite, mais en se souvenant de la propriété (9):

Nous voyons cela efficacement:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Alors la condition d'existence de la circonférence inscrite est satisfaite.

- Solution b

Périmètre

Le périmètre P est obtenu en ajoutant les côtés. Puisque les bases totalisent 10 et les latérales également, le périmètre est:

P = 20 cm

Zone

Pour déterminer la zone, connue uniquement ses côtés, la relation est appliquée:

A = ∙ √

Où s est le demi-mètre:

s = (a + b + c + d) / 2.

Dans notre cas, le demi-mètre vaut s = 10 cm. Après avoir remplacé les valeurs respectives:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Restes:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

la taille

La hauteur h est liée à la zone A par l'expression suivante:

A = (a + c) ∙ h / 2, à partir de laquelle la hauteur peut être obtenue en dégageant:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Rayon du cercle inscrit

Le rayon du cercle inscrit est égal à la moitié de la hauteur:

r = h / 2 = 1 984 cm

Diagonales

Enfin on trouve la longueur des diagonales:

d ₁ = √

d ₂ = √

En remplaçant correctement les valeurs que nous avons:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Soit: d ₁ = 4,69 cm et d ₂ = 8,49 cm

Figure 7. Trapèze scalène qui remplit la condition d'existence d'une circonférence inscrite. Source: F. Zapata.

Exercice résolu

Déterminez les angles intérieurs du trapèze avec les bases AB = a = 7, CD = c = 3 et les angles latéraux BC = b = 6, DA = d = 4.

Solution

Le théorème du cosinus peut être appliqué pour déterminer les angles. Par exemple, l'angle ∠A = α est déterminé à partir du triangle ABD avec AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 et DA = d = 4.

Le théorème du cosinus appliqué à ce triangle ressemble à ceci:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), soit:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

En résolvant pour, le cosinus de l'angle α est obtenu:

Cos (α) = -1/8

Autrement dit, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Les autres angles sont obtenus de la même manière, leurs valeurs étant:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ et finalement δ = 82,82⁰.

Références

1. CEA (2003). Éléments de géométrie: avec exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Mathématiques 2. Grupo Editorial Patria.
3. Libéré, K. (2007). Découvrez les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Mathématiques Premier semestre Tacaná. IGER.
6. Géométrie Jr. (2014). Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. (2006). Mathématiques: raisonnement et applications (dixième édition). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Wikipédia. Trapèze. Récupéré de: es.wikipedia.com