TRANSFORMATIONS ISOMÉTRIQUES: COMPOSITION, TYPES ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

Les transformations isométriques sont des changements de position ou d'orientation d'une figure donnée qui n'altèrent ni la forme ni la taille de celle-ci. Ces transformations sont classées en trois types: translation, rotation et réflexion (isométrie). En général, les transformations géométriques vous permettent de créer une nouvelle figure à partir d'une figure donnée.

Une transformation en une figure géométrique signifie que, d'une certaine manière, elle a subi un certain changement; c'est-à-dire qu'il a été modifié. Selon le sens de l'original et du similaire dans le plan, les transformations géométriques peuvent être classées en trois types: isométrique, isomorphe et anamorphique.

caractéristiques

Les transformations isométriques se produisent lorsque les magnitudes des segments et les angles entre la figure d'origine et la figure transformée sont conservés.

Dans ce type de transformation, ni la forme ni la taille de la figure ne sont altérées (elles sont congruentes), ce n'est qu'un changement de sa position, soit en orientation, soit en direction. De cette manière, les figures initiales et finales seront similaires et géométriquement congruentes.

L'isométrie fait référence à l'égalité; en d'autres termes, les figures géométriques seront isométriques si elles ont la même forme et la même taille.

Dans les transformations isométriques, la seule chose que l'on peut observer est un changement de position dans le plan, un mouvement rigide se produit grâce auquel la figure passe d'une position initiale à une position finale. Ce chiffre est appelé homologue (similaire) de l'original.

Il existe trois types de mouvements qui classifient une transformation isométrique: la translation, la rotation et la réflexion ou la symétrie.

Les types

Par traduction

Ce sont ces isométries qui permettent à tous les points du plan d'être déplacés en ligne droite dans une direction et une distance données.

Lorsqu'une figure est transformée par translation, elle ne change pas son orientation par rapport à la position initiale, ni ne perd ses mesures internes, les mesures de ses angles et côtés. Ce type de déplacement est défini par trois paramètres:

- Une direction, qui peut être horizontale, verticale ou oblique.

- Une direction, qui peut être vers la gauche, la droite, le haut ou le bas.

- Distance ou magnitude, qui est la longueur de la position initiale à la fin de tout point qui se déplace.

Pour qu'une transformation isométrique par translation soit remplie, les conditions suivantes doivent être remplies:

- La figure doit toujours garder toutes ses dimensions, à la fois linéaires et angulaires.

- La figure ne change pas de position par rapport à l'axe horizontal; c'est-à-dire que son angle ne varie jamais.

- Les traductions seront toujours résumées en une seule, quel que soit le nombre de traductions effectuées.

Dans un plan où le centre est un point O, de coordonnées (0,0), la translation est définie par un vecteur T (a, b), qui indique le déplacement du point initial. C'est-à-dire:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Par exemple, si une translation T (-4, 7) est appliquée au point de coordonnées P (8, -2), on obtient:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Dans l'image suivante (à gauche), on peut voir comment le point C s'est déplacé pour coïncider avec D. Il l'a fait dans une direction verticale, la direction était vers le haut et la distance ou la magnitude CD était de 8 mètres. Dans l'image de droite, la translation d'un triangle est observée:

Par rotation

Ce sont ces isométries qui permettent à la figure de faire pivoter tous les points d'un plan. Chaque point tourne suivant un arc qui a un angle constant et un point fixe (centre de rotation) déterminé.

Autrement dit, toute rotation sera définie par son centre de rotation et son angle de rotation. Lorsqu'une figure est transformée par rotation, elle conserve la mesure de ses angles et côtés.

La rotation se produit dans un certain sens, elle est positive lorsque la rotation est dans le sens antihoraire (le sens opposé à la façon dont les aiguilles de l'horloge tournent) et négative lorsque sa rotation est dans le sens horaire.

Si un point (x, y) est tourné par rapport à l'origine - c'est-à-dire que son centre de rotation est (0,0) -, à un angle de 90 ^ou 360 ^ou les coordonnées des points seront:

Dans le cas où la rotation n'a pas de centre à l'origine, l'origine du système de coordonnées doit être transférée à la nouvelle origine donnée, afin de pouvoir faire pivoter la figure avec l'origine comme centre.

Par exemple, si P (-5,2) point est appliqué une rotation de 90 ^ou, autour de l'origine et positivement ses nouvelles coordonnées sont (-2,5).

Par réflexion ou symétrie

Ce sont ces transformations qui inversent les points et les figures de l'avion. Cette inversion peut être par rapport à un point ou elle peut également être par rapport à une ligne.

En d'autres termes, dans ce type de transformation, chaque point de la figure d'origine est associé à un autre point (image) de la figure homologue, de telle sorte que le point et son image sont à la même distance d'une ligne appelée axe de symétrie..

Ainsi, la partie gauche de la figure sera le reflet de la partie droite, sans changer sa forme ni ses dimensions. La symétrie transforme une figure en une autre égale mais dans la direction opposée, comme on peut le voir dans l'image suivante:

La symétrie est présente sous de nombreux aspects, comme dans certaines plantes (tournesols), animaux (paon) et phénomènes naturels (flocons de neige). L'être humain le reflète sur son visage, qui est considéré comme un facteur de beauté. La réflexion ou la symétrie peuvent être de deux types:

Symétrie centrale

C'est cette transformation qui se produit par rapport à un point, dans lequel la figure peut changer son orientation. Chaque point de la figure originale et son image sont à la même distance d'un point O, appelé centre de symétrie. La symétrie est centrale lorsque:

- Le point, son image et son centre appartiennent à la même ligne.

- Avec une rotation de 180 ^o du centre O, on obtient un chiffre égal à l'original.

- Les lignes de la figure initiale sont parallèles aux lignes de la figure formée.

- Le sens de la figure ne change pas, il sera toujours dans le sens des aiguilles d'une montre.

Composition d'une rotation

La composition de deux spires de même centre aboutit à un autre tour, qui a le même centre et dont l'amplitude sera la somme des amplitudes des deux spires.

Si le centre des virages a un centre différent, la coupe de la bissectrice de deux segments de points similaires sera le centre du virage.

Composition d'une symétrie

Dans ce cas, la composition dépendra de la façon dont elle est appliquée:

- Si la même symétrie est appliquée deux fois, le résultat sera une identité.

- Si deux symétries sont appliquées par rapport à deux axes parallèles, le résultat sera une translation, et son déplacement est le double de la distance de ces axes:

- Si deux symétries sont appliquées par rapport à deux axes qui se coupent au point O (centre), une rotation de centre en O sera obtenue et son angle sera le double de l'angle formé par les axes:

Références

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