TIR PARABOLIQUE: CARACTÉRISTIQUES, FORMULES ET ÉQUATIONS, EXEMPLES - PHYSIQUE - 2025

La parabolique de lancer un objet ou un angle de projectile et de le laisser se déplacer sous l'action de la gravité. Si la résistance de l'air n'est pas prise en compte, l'objet, quelle que soit sa nature, suivra une trajectoire d'arc de parabole.

C'est un mouvement quotidien, puisque parmi les sports les plus populaires sont ceux dans lesquels des balles ou des balles sont lancées, soit avec la main, avec le pied ou avec un instrument comme une raquette ou une batte par exemple.

Figure 1. Le jet d'eau de la fontaine ornementale suit une trajectoire parabolique. Source: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor (ifj.), Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)

Pour son étude, le tir parabolique se décompose en deux mouvements superposés: l'un horizontal sans accélération, et l'autre vertical avec une accélération constante vers le bas, qui est la gravité. Les deux mouvements ont une vitesse initiale.

Disons que le mouvement horizontal se déroule le long de l'axe x et le mouvement vertical le long de l'axe y. Chacun de ces mouvements est indépendant de l'autre.

La détermination de la position du projectile étant l'objectif principal, il est nécessaire de choisir un système de référence approprié. Les détails suivent.

Formules et équations de tir parabolique

Supposons que l'objet soit projeté avec un angle α par rapport à la vitesse horizontale et initiale v _ou comme le montre la figure ci-dessous à gauche. Le tir parabolique est un mouvement qui a lieu sur le plan xy et dans ce cas la vitesse initiale est décomposée comme suit:

Figure 2. A gauche la vitesse initiale du projectile et à droite la position à tout instant du lancement. Source: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor, (ifj.) Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

La position du projectile, qui est le point rouge sur la figure 2, image de droite, a également deux composantes dépendant du temps, l'une en x et l'autre en y. La position est un vecteur noté r et ses unités sont la longueur.

Sur la figure, la position initiale du projectile coïncide avec l'origine du repère, donc x _o = 0, et _o = 0. Ce n'est pas toujours le cas, vous pouvez choisir l'origine n'importe où, mais ce choix simplifie beaucoup calculs.

Concernant les deux mouvements en x et en y, ce sont:

-x (t): c'est un mouvement rectiligne uniforme.

-y (t): correspond à un mouvement rectiligne uniformément accéléré avec g = 9,8 m / s ² et pointant verticalement vers le bas.

Sous forme mathématique:

Le vecteur de position est:

r (t) = i + j

Dans ces équations, le lecteur attentif remarquera que le signe moins est dû à la gravité pointant vers le sol, la direction choisie comme négative, tandis que vers le haut est considérée comme positive.

Puisque la vitesse est la première dérivée de la position, différenciez simplement r (t) par rapport au temps et obtenez:

v (t) = v _o cos α i + (v _o. sin α - gt) j

Enfin, l'accélération est exprimée de manière vectorielle par:

a (t) = -g j

- Trajectoire, hauteur maximale, temps maximal et portée horizontale

Trajectoire

Pour trouver l'équation explicite de la trajectoire, qui est la courbe y (x), nous devons éliminer le paramètre de temps, en résolvant l'équation pour x (t) et en le substituant en y (t). La simplification est quelque peu laborieuse, mais finalement vous obtenez:

Hauteur maximale

La hauteur maximale se produit lorsque v _y = 0. Sachant qu'il existe la relation suivante entre la position et le carré de la vitesse:

Figure 3. La vitesse du tir parabolique. Source: Giambattista, A. Physique.

Faire v _y = 0 juste en atteignant la hauteur maximale:

Avec:

Temps maximum

Le temps maximum est le temps qu'il faut à l'objet pour atteindre et _max. Pour le calculer, on utilise:

Sachant que v _y devient 0 lorsque t = t _max, il en résulte:

Portée horizontale maximale et temps de vol

La portée est très importante, car elle signale où l'objet tombera. De cette façon, nous saurons s'il atteint ou non la cible. Pour le trouver, nous avons besoin du temps de vol, du temps total ou _v.

À partir de l'illustration ci-dessus, il est facile de conclure que t _v = 2.t _max. Mais attention, cela n'est vrai que si le lancement est à niveau, c'est-à-dire que la hauteur du point de départ est la même que celle de l'arrivée. Sinon, le temps est trouvé en résolvant l'équation quadratique qui résulte de la substitution de la position finale et _finale:

Dans tous les cas, la portée horizontale maximale est:

Exemples de tir parabolique

Le tir parabolique fait partie du mouvement des personnes et des animaux. Aussi de presque tous les sports et jeux où la gravité intervient. Par exemple:

Tir parabolique dans les activités humaines

-La pierre lancée par une catapulte.

-Le coup de pied de but du gardien de but.

-La balle lancée par le lanceur.

-La flèche qui sort de l'arc.

-Toutes sortes de sauts

-Jeter une pierre avec une écharpe.

-Toute arme de lancer.

Figure 4. La pierre lancée par la catapulte et le ballon botté lors du coup de pied de but sont des exemples de tirs paraboliques. Source: Wikimedia Commons.

Le tir parabolique dans la nature

-L'eau qui coule de jets naturels ou artificiels comme ceux d'une fontaine.

-Les pierres et la lave jaillissant d'un volcan.

-Une balle qui rebondit sur le trottoir ou une pierre qui rebondit sur l'eau.

-Toutes sortes d'animaux qui sautent: kangourous, dauphins, gazelles, chats, grenouilles, lapins ou insectes, pour n'en nommer que quelques-uns.

Figure 5. L'impala est capable de sauter jusqu'à 3 m. Source: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Exercice

Une sauterelle saute à un angle de 55 ° avec l'horizontale et atterrit à 0,80 mètre devant. Trouver:

a) La hauteur maximale atteinte.

b) S'il sautait avec la même vitesse initiale, mais en formant un angle de 45 °, irait-il plus haut?

c) Que dire de la portée horizontale maximale pour cet angle?

Solution pour

Lorsque les données fournies par le problème ne contiennent pas la vitesse initiale v _{ou que} les calculs sont un peu plus laborieux, mais à partir des équations connues, une nouvelle expression peut être dérivée. À partir de:

Lorsqu'il atterrit plus tard, la hauteur revient à 0, donc:

Puisque t _v est un facteur commun, cela simplifie:

Nous pouvons résoudre pour t _{v à} partir de la première équation:

Et remplacez dans le second:

En multipliant tous les termes par v _ou.cos α, l'expression n'est pas modifiée et le dénominateur disparaît:

Vous pouvez maintenant effacer v _ou o également remplacer l'identité suivante:

sin 2α = 2 sin α. cos α → v _ou ² sin 2α = gx _max

Calculez v _ou ²:

Le homard parvient à maintenir la même vitesse horizontale, mais en diminuant l'angle:

Atteint une hauteur inférieure.

Solution c

La portée horizontale maximale est:

La modification de l'angle modifie également la portée horizontale:

x _max = 8,34 sin 90 / 9,8 m = 0,851 m = 85,1 cm

Le saut est plus long maintenant. Le lecteur peut vérifier qu'il est maximal pour l'angle de 45 ° car:

sin 2α = sin 90 = 1.

Références

1. Figueroa, D. 2005. Série: Physique pour les sciences et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. Edité par Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, A. 2010. Physique. Deuxième édition. McGraw Hill.
3. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, R. 1999. Physique. Vol. 1. 3e éd. En espagnol. Compañía Editorial Continental SA de CV
5. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Éd. Volume 1.