TESSELLATIONS: CARACTÉRISTIQUES, TYPES (RÉGULIERS, IRRÉGULIERS), EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les carrelages sont des surfaces revêtues d'une ou plusieurs figures appelées tesselles. Ils sont partout: dans les rues et les immeubles de toutes sortes. Les tuiles ou tuiles sont des pièces plates, généralement des polygones avec des copies congruentes ou isométriques, qui sont placées selon un modèle régulier. De cette façon, il n'y a aucun espace non couvert et les carreaux ou mosaïques ne se chevauchent pas.

Dans le cas où un seul type de mosaïque formé par un polygone régulier est utilisé, alors il y a une tessellation régulière, mais si deux ou plusieurs types de polygones réguliers sont utilisés, alors il s'agit d'une tessellation semi-régulière.

Figure 1. Sol carrelé avec tessellation irrégulière, car les rectangles sont des polygones non réguliers, même si les carrés le sont. Source: Pixabay.

Enfin, lorsque les polygones que forme la tessellation ne sont pas réguliers, alors il s'agit d'une tessellation irrégulière.

Le type de pavage le plus courant est celui formé par des mosaïques rectangulaires et particulièrement carrées. Dans la figure 1, nous avons un bon exemple.

Histoire des pavages

La tessellation est utilisée depuis des milliers d'années pour recouvrir les sols et les murs des palais et des temples de différentes cultures et religions.

Par exemple, la civilisation sumérienne qui a prospéré vers 3500 avant JC au sud de la Mésopotamie, entre les fleuves Euphrate et Tigre, a utilisé des mosaïques dans son architecture.

Figure 2. Tessellations sumériennes à la porte Istar. Source: Wikimedia Commons.

Les pavages ont également suscité l'intérêt des mathématiciens de tous âges: à commencer par Archimède au IIIe siècle avant JC, suivi de Johannes Kepler en 1619, Camille Jordan en 1880, jusqu'à l'époque contemporaine avec Roger Penrose.

Penrose a créé une tessellation non périodique connue sous le nom de tessellation de Penrose. Ce ne sont là que quelques noms de scientifiques qui ont beaucoup contribué à la tessellation.

Tessellations régulières

Les pavages réguliers sont réalisés avec un seul type de polygone régulier. En revanche, pour que la tessellation soit considérée comme régulière, chaque point de l'avion doit:

-Apparente à l'intérieur du polygone

-Ou au bord de deux polygones adjacents

-Enfin, il peut appartenir au sommet commun d'au moins trois polygones.

Avec les restrictions ci-dessus, on peut montrer que seuls les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones peuvent former une tessellation régulière.

Nomenclature

Il existe une nomenclature pour désigner les pavages qui consiste à lister dans le sens des aiguilles d'une montre et séparés par un point, le nombre de côtés des polygones qui entourent chaque nœud (ou sommet) du pavage, en commençant toujours par le polygone avec le plus petit nombre côtés.

Cette nomenclature s'applique aux pavages réguliers et semi-réguliers.

Exemple 1: pavage triangulaire

La figure 3 montre une tessellation triangulaire régulière. Il convient de noter que chaque nœud de la tessellation triangulaire est le sommet commun de six triangles équilatéraux.

La façon de désigner ce type de tessellation est 3.3.3.3.3.3, qui est également noté 3 ⁶.

Figure 3. Pavage triangulaire régulier 3.3.3.3.3.3. Source: wikimedia commons

Exemple 2: pavage carré

La figure 4 montre une tessellation régulière composée uniquement de carrés. Il convient de noter que chaque nœud de la tessellation est entouré de quatre carrés congruents. La notation appliquée à ce type de pavage carré est: 4.4.4.4 ou bien 4 ⁴

Figure 4. Pavage carré 4.4.4.4. Source: wikimedia commons.

Exemple 3: tessellation hexagonale

Dans une tessellation hexagonale, chaque nœud est entouré de trois hexagones réguliers comme le montre la figure 5. La nomenclature pour une tessellation hexagonale régulière est 6.6.6 ou bien 6 ³.

Figure 5. Pavage hexagonal 6.6.6. Source: wikimedia commons.

Tessellations semi-régulières

Les pavages semi-réguliers ou archimédiens se composent de deux ou plusieurs types de polygones réguliers. Chaque nœud est entouré des types de polygones qui composent la tessellation, toujours dans le même ordre, et la condition de bord est entièrement partagée avec le voisin.

Il existe huit pavages semi-réguliers:

1. 3.6.3.6 (pavage tri-hexagonal)
2. 3.3.3.3.6 (tessellation hexagonale émoussée)
3. 3.3.3.4.4 (pavage triangulaire allongé)
4. 3.3.4.3.4 (pavage carré émoussé)
5. 3.4.6.4 (pavage rhombi-tri-hexagonal)
6. 4.8.8 (pavage carré tronqué)
7. 3.12.12 (tessellation hexagonale tronquée)
8. 4.6.12 (tessellation tri-hexagonale tronquée)

Quelques exemples de pavages semi-réguliers sont présentés ci-dessous.

Exemple 4: pavage tri-hexagonal

C'est celui qui est composé de triangles équilatéraux et d'hexagones réguliers dans la structure 3.6.3.6, ce qui signifie qu'un nœud de la tessellation est entouré (jusqu'à terminer un tour) par un triangle, un hexagone, un triangle et un hexagone. La figure 6 montre une telle tessellation.

Figure 6. La tessellation tri-hexagonale (3.6.3.6) est un exemple de tessellation semi-régulière. Source: Wikimedia Commons.

Exemple 5: pavage hexagonal émoussé

Comme le pavage de l'exemple précédent, celui-ci est également constitué de triangles et d'hexagones, mais leur distribution autour d'un nœud est 3.3.3.3.6. La figure 7 illustre clairement ce type de pavage.

Figure 7. La tessellation hexagonale émoussée consiste en un hexagone entouré de 16 triangles dans la configuration 3.3.3.3.6. Source: Wikimedia Commons.

Exemple 6: pavage rhombi-tri-hexagonal

Il s'agit d'un pavage composé de triangles, de carrés et d'hexagones, dans la configuration 3.4.6.4, qui est représentée sur la figure 8.

Figure 8. Pavage semi-régulier composé d'un triangle, d'un carré et d'un hexagone dans la configuration 3.4.6.4. Source: Wikimedia Commons.

Tessellations irrégulières

Les pavages irréguliers sont ceux qui sont formés par des polygones irréguliers, ou par des polygones réguliers mais qui ne répondent pas au critère selon lequel un nœud est un sommet d'au moins trois polygones.

Exemple 7

La figure 9 montre un exemple de pavage irrégulier, dans lequel tous les polygones sont réguliers et congruents. Il est irrégulier car un nœud n'est pas un sommet commun d'au moins trois carrés et il existe également des carrés voisins qui ne partagent pas complètement une arête.

Figure 9. Même si toutes les tuiles sont des carrés congruents, ceci est un exemple clair de pavage irrégulier. Source: F. Zapata.

Exemple 8

Le parallélogramme dalle une surface plane, mais à moins qu'il ne s'agisse d'un carré, il ne peut pas former une tessellation régulière.

Figure 10. Une tessellation formée de parallélogrammes est irrégulière, car ses mosaïques sont des polygones non réguliers. Source: F. Zapata.

Exemple 9

Des hexagones non réguliers à symétrie centrale pavent une surface plane, comme le montre la figure suivante:

Figure 11. Hexagones à symétrie centrale même lorsqu'ils ne sont pas réguliers en pavage du plan. Source: F. Zapata.

Exemple 10: pavage du Caire

C'est une tessellation très intéressante, composée de pentagones avec des côtés de même longueur mais avec des angles inégaux, dont deux sont droits et les trois autres ont 120º chacun.

Son nom vient du fait que cette tessellation se trouve dans le trottoir de certaines rues du Caire en Egypte. La figure 12 montre la tessellation du Caire.

Figure 12. Tessellation du Caire. Source: Wikimedia Commons.

Exemple 11: tessellation Al-Andalus

La tessellation de certaines parties de l'Andalousie et de l'Afrique du Nord est caractérisée par la géométrie et l'épigraphie, en plus d'éléments ornementaux tels que la végétation.

La tessellation des palais comme celle de l'Alhambra était composée de carreaux constitués de pièces de céramique de nombreuses couleurs, aux formes multiples (sinon infinies) qui se déchaînaient dans des motifs géométriques.

Figure 13. Tessellation du palais de l'Alhambra. Tartaglia / Domaine public

Exemple 12: tessellation dans les jeux vidéo

Aussi connu sous le nom de tesellation, c'est l'une des nouveautés les plus populaires dans les jeux vidéo. Il s'agit de créer des textures pour simuler la tessellation des différents scénarios qui apparaissent dans le simulateur.

C'est un reflet clair que ces revêtements continuent d'évoluer, traversant les frontières de la réalité.

Références

1. Profitez des maths. Tessellations. Récupéré de: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Tessellations a résolu des exemples. Récupéré de: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. «Tessellation démirégulaire». Weisstein, Eric W, éd. MathWorld. Recherche Wolfram.
4. Wikipédia. Tessellation. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Pavage régulier. Récupéré de: es.wikipedia.com