THÉORÈME FONDAMENTAL DE L'ARITHMÉTIQUE: PREUVE, APPLICATIONS, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Le théorème fondamental de l'arithmétique stipule que tout nombre naturel supérieur à 1 peut être décomposé comme un produit de nombres premiers - certains peuvent être répétés - et cette forme est unique pour ce nombre, bien que l'ordre des facteurs puisse être différent.

Rappelons qu'un nombre premier p est celui qui n'admet que lui-même et 1 comme diviseurs positifs Les nombres suivants sont premiers: 2, 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite, car il y a des infinis. Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier, car il n'a qu'un diviseur.

Figure 1. Euclide (à gauche) a prouvé le théorème fondamental de l'arithmétique dans son livre Elements (350 BC), et la première preuve complète est due à Carl F. Gauss (1777-1855) (à droite). Source: Wikimedia Commons.

Pour sa part, les nombres qui ne sont pas conformes à ce qui précède sont appelés nombres composites, comme 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Prenons le nombre 10 par exemple et on voit immédiatement qu'il peut être décomposé en produit de 2 et 5:

10 = 2 × 5

2 et 5 sont, en fait, des nombres premiers. Le théorème indique que cela est possible pour tout nombre n:

Où p ₁, p ₂, p ₃ … p _r sont des nombres premiers et k ₁, k ₂, k ₃,… k _r sont des nombres naturels. Ainsi, les nombres premiers agissent comme les blocs de construction à partir desquels, par multiplication, les nombres naturels sont construits.

Preuve du théorème fondamental de l'arithmétique

Nous commençons par montrer que tout nombre peut être décomposé en facteurs premiers. Soit un entier naturel n> 1, premier ou composé.

Par exemple, si n = 2, il peut être exprimé comme: 2 = 1 × 2, qui est premier. De la même manière, procédez avec les numéros suivants:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Nous continuons ainsi, décomposant tous les nombres naturels jusqu'à atteindre le nombre n -1. Voyons si nous pouvons le faire avec le numéro suivant: n.

Si n est premier, nous pouvons le décomposer comme n = 1 × n, mais supposons que n est composite et a un diviseur d, logiquement inférieur à n:

1 <d <n.

Si n / d = p ₁, avec p ₁ un nombre premier, alors n s'écrit:

n = p ₁.d

Si d est premier, il n'y a plus rien à faire, mais si ce n'est pas le cas, il y a un nombre n ₂ qui est un diviseur de d et inférieur à ceci: n ₂ <d, donc d peut être écrit comme le produit de n ₂ par un autre nombre premier p ₂:

d = p ₂ n ₂

Que lors du remplacement dans le nombre d'origine n donnerait:

n = p ₁.p ₂.n ₂

Supposons maintenant que n ₂ ne soit pas non plus un nombre premier et nous l'écrivons comme le produit d'un nombre premier p ₃, par son diviseur n ₃, tel que n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃.n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃.n ₃

Nous répétons cette procédure un nombre fini de fois jusqu'à obtenir:

n = p ₁.p ₂.p ₃ … p _r

Cela signifie qu'il est possible de décomposer tous les nombres entiers de 2 au nombre n, comme un produit de nombres premiers.

Unicité de la factorisation prime

Vérifions maintenant qu'à part l'ordre des facteurs, cette décomposition est unique. Supposons que n puisse être écrit de deux manières:

n = p ₁.p ₂.p ₃ … p _r = q _1. q ₂.q ₃ …..q _s (avec r ≤ s)

Bien sûr, q ₁, q ₂, q ₃… sont aussi des nombres premiers. Puisque p ₁ divise (q _1. q ₂.q ₃ …..q _s) alors p ₁ est égal à n'importe lequel des «q», peu importe lequel, nous pouvons donc dire que p ₁ = q ₁. On divise n par p ₁ et on obtient:

p ₂.p ₃ … p _r = . q ₂.q ₃ …..q _s

Nous répétons la procédure jusqu'à ce que nous divisions tout par p _r, puis nous obtenons:

1 = q _{r + 1} … q _s

Mais il n'est pas possible d'arriver à q _{r + 1} … q _s = 1 quand r <s, seulement si r = s. Bien qu'en admettant que r = s, il est également admis que le "p" et le "q" sont les mêmes. Par conséquent, la décomposition est unique.

Applications

Comme nous l'avons déjà dit, les nombres premiers représentent, si vous voulez, les atomes des nombres, leurs composants de base. Le théorème fondamental de l'arithmétique a donc de nombreuses applications, la plus évidente: nous pouvons travailler plus facilement avec de grands nombres si nous les exprimons comme le produit de nombres plus petits.

De la même manière, on peut trouver le plus grand commun multiple (LCM) et le plus grand commun diviseur (GCF), une procédure qui nous aide à faire des sommes de fractions plus facilement, à trouver des racines de grands nombres, ou à opérer avec des radicaux, rationaliser et résoudre problèmes d'application de nature très diverse.

De plus, les nombres premiers sont extrêmement énigmatiques. Un motif n'y est pas encore reconnu et il n'est pas possible de savoir lequel sera le suivant. Le plus grand jusqu'à présent a été trouvé par des ordinateurs et compte 24 862 048 chiffres, bien que les nouveaux nombres premiers apparaissent moins fréquemment à chaque fois.

Les nombres premiers dans la nature

Les cigales, cigales ou cigales qui vivent dans le nord-est des États-Unis émergent par cycles de 13 ou 17 ans. Ce sont tous les deux des nombres premiers.

De cette manière, les cigales évitent de coïncider avec des prédateurs ou des concurrents qui ont d'autres périodes de naissance, et les différentes variétés de cigales ne se font pas concurrence, puisqu'elles ne coïncident pas au cours de la même année.

Figure 2. La cigale Magicicada de l'est des États-Unis émerge tous les 13 à 17 ans. Source: Pxfuel.

Nombres premiers et achats en ligne

Les nombres premiers sont utilisés dans la cryptographie pour garder secrets les détails de la carte de crédit lors des achats sur Internet. De cette façon, les données que l'acheteur parvient au magasin précisément sans être perdues ou tomber entre les mains de personnes sans scrupules.

Comment? Les données sur les cartes sont codées dans un nombre N qui peut être exprimé comme le produit de nombres premiers. Ces nombres premiers sont la clé que révèlent les données, mais ils sont inconnus du public, ils ne peuvent être décodés que sur le web vers lequel ils sont dirigés.

Décomposer un nombre en facteurs est une tâche facile si les nombres sont petits (voir les exercices résolus), mais dans ce cas des nombres premiers de 100 chiffres sont utilisés comme clé, ce qui en les multipliant donne des nombres beaucoup plus grands, dont la décomposition détaillée implique une tâche énorme.

Exercices résolus

- Exercice 1

Décomposer 1029 en facteurs premiers.

Solution

1029 est divisible par 3. On le sait car en additionnant ses chiffres la somme est un multiple de 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Comme l'ordre des facteurs n'altère pas le produit, on peut commencer par là:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Par contre 343 = 7 ³, alors:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

Et comme 3 et 7 sont des nombres premiers, il s'agit de la décomposition de 1029.

- Exercice 2

Factorisez le trinôme x ² + 42x + 432.

Solution

Le trinôme est réécrit sous la forme (x + a). (x + b) et nous devons trouver les valeurs de a et b, telles que:

a + b = 42; ab = 432

Le nombre 432 est décomposé en facteurs premiers et à partir de là, la combinaison appropriée est choisie par essais et erreurs de sorte que les facteurs ajoutés donnent 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

De là, il y a plusieurs possibilités pour écrire 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

Et tout peut être trouvé en combinant des produits entre les facteurs premiers, mais pour résoudre l'exercice proposé, la seule combinaison appropriée est: 432 = 24 × 18 puisque 24 + 18 = 42, alors:

x ² + 42x + 432 = (x + 24). (x + 18)

Références

1. Baldor, A. 1986. Arithmétique pratique théorique. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. Le code caché de la nature. Récupéré de: bbc.com.
3. De Leon, Manuel Les nombres premiers: les gardiens d'Internet. Récupéré de: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Théorie des nombres I: Théorème fondamental de l'arithmétique. Récupéré de: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipédia. Le théorème fondamental de l'arithmétique. Récupéré de: es.wikipedia.org.