MOUVEMENT PENDULAIRE: PENDULE SIMPLE, HARMONIQUE SIMPLE - PHYSIQUE - 2025

Un pendule est un objet (idéalement une masse ponctuelle) suspendu par un fil (idéalement sans masse) à un point fixe et qui oscille grâce à la force de gravité, cette force invisible mystérieuse qui, entre autres, maintient l'univers collé.

Le mouvement pendulaire est celui qui se produit dans un objet d'un côté à l'autre, suspendu à une fibre, un câble ou un fil. Les forces qui interviennent dans ce mouvement sont la combinaison de la force de gravité (verticale, vers le centre de la Terre) et de la tension du fil (direction du fil).

Pendule oscillant, indiquant la vitesse et l'accélération (wikipedia.org)

C'est ce que font les horloges à pendule (d'où son nom) ou les balançoires de jeux. Dans un pendule idéal, le mouvement oscillatoire se poursuivrait perpétuellement. Dans un vrai pendule, en revanche, le mouvement finit par s'arrêter après le temps à cause du frottement avec l'air.

Penser à un pendule rend inévitable l'évocation de l'image de l'horloge à pendule, le souvenir de cette vieille et imposante horloge de la maison de campagne des grands-parents. Ou peut-être l'histoire d'horreur d'Edgar Allan Poe, Le Puits et le Pendule, dont la narration est inspirée de l'une des nombreuses méthodes de torture utilisées par l'Inquisition espagnole.

La vérité est que les différents types de pendules ont des applications diverses au-delà de la mesure du temps, comme par exemple la détermination de l'accélération de la pesanteur en un certain endroit et même la démonstration de la rotation de la Terre comme l'a fait le physicien français Jean Bernard Léon. Foucault.

Pendule de Foucault. Auteur: Veit Froer (wikipedia.org).

Le pendule simple et le mouvement vibratoire harmonique simple

Pendule simple

Le pendule simple, bien qu'il s'agisse d'un système idéal, permet de réaliser une approche théorique du mouvement d'un pendule.

Bien que les équations du mouvement d'un pendule simple puissent être quelque peu complexes, la vérité est que lorsque l'amplitude (A), ou le déplacement par rapport à la position d'équilibre, du mouvement est faible, il peut être approché avec les équations d'un mouvement harmonique simples qui ne sont pas trop compliqués.

Mouvement harmonique simple

Le mouvement harmonique simple est un mouvement périodique, c'est-à-dire qu'il se répète dans le temps. De plus, il s'agit d'un mouvement oscillatoire dont l'oscillation se produit autour d'un point d'équilibre, c'est-à-dire d'un point où le résultat net de la somme des forces appliquées au corps est nul.

De cette manière, une caractéristique fondamentale du mouvement du pendule est sa période (T), qui détermine le temps nécessaire pour effectuer un cycle complet (ou une oscillation complète). La période d'un pendule est déterminée par l'expression suivante:

où, l = la longueur du pendule; et, g = la valeur de l'accélération due à la gravité.

Une grandeur liée à la période est la fréquence (f), qui détermine le nombre de cycles que traverse le pendule en une seconde. De cette manière, la fréquence peut être déterminée à partir de la période avec l'expression suivante:

Dynamique du mouvement du pendule

Les forces qui interviennent dans le mouvement sont le poids, ou ce qui est le même, la force de gravité (P) et la tension du fil (T). La combinaison de ces deux forces est ce qui provoque le mouvement.

Alors que la tension est toujours dirigée dans la direction du fil ou de la corde qui relie la masse au point fixe et, par conséquent, il n'est pas nécessaire de la décomposer; le poids est toujours dirigé verticalement vers le centre de masse de la Terre, et par conséquent, il est nécessaire de le décomposer en ses composantes tangentielle et normale ou radiale.

La composante tangentielle du poids P _t = mg sin θ, tandis que la composante normale du poids est P _N = mg cos θ. Cette seconde est compensée par la tension du fil; La composante tangentielle du poids, qui agit comme une force de rappel, est donc en dernier ressort responsable du mouvement.

Déplacement, vitesse et accélération

Le déplacement d'un mouvement harmonique simple, et donc du pendule, est déterminé par l'équation suivante:

x = A ω cos (ω t + θ ₀)

où ω = est la vitesse angulaire de rotation; t = est le temps; et, θ ₀ = est la phase initiale.

De cette manière, cette équation nous permet de déterminer la position du pendule à tout moment. À cet égard, il est intéressant de mettre en évidence certaines relations entre certaines des magnitudes du mouvement harmonique simple.

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f

Par contre, la formule qui régit la vitesse du pendule en fonction du temps est obtenue en dérivant le déplacement en fonction du temps, comme ceci:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ ₀)

En procédant de la même manière, on obtient l'expression de l'accélération par rapport au temps:

a = dv / dt = - A ω ² cos (ω t + θ ₀)

Vitesse et accélération maximales

En observant à la fois l'expression de la vitesse et de l'accélération, on peut apprécier certains aspects intéressants du mouvement du pendule.

La vitesse prend sa valeur maximale en position d'équilibre, moment auquel l'accélération est nulle, puisque, comme indiqué précédemment, à cet instant la force nette est nulle.

Au contraire, aux extrêmes du déplacement, c'est l'inverse qui se produit, là l'accélération prend la valeur maximale, et la vitesse prend une valeur nulle.

A partir des équations de vitesse et d'accélération, il est facile de déduire à la fois le module de vitesse maximale et le module d'accélération maximale. Il suffit de prendre la valeur maximale possible à la fois pour sin (ω t + θ ₀) et pour cos (ω t + θ ₀), qui dans les deux cas vaut 1.

│ v _max │ = A ω

│ a _max │ = A ω ²

Le moment où le pendule atteint sa vitesse maximale est lorsqu'il passe par le point d'équilibre des forces puisque alors sin (ω t + θ ₀) = 1. Au contraire, l'accélération maximale est atteinte aux deux extrémités du mouvement puisque alors cos (ω t + θ ₀) = 1

conclusion

Un pendule est un objet facile à concevoir et apparemment avec un mouvement simple bien que la vérité soit qu'au fond, il est beaucoup plus complexe qu'il n'y paraît.

Cependant, lorsque l'amplitude initiale est faible, son mouvement peut être expliqué par des équations qui ne sont pas excessivement compliquées, car il peut être approché avec les équations du mouvement vibratoire harmonique simple.

Les différents types de pendules qui existent ont des applications différentes à la fois pour la vie quotidienne et dans le domaine scientifique.

Références

1. Van Baak, Tom (novembre 2013). "Une équation nouvelle et merveilleuse de période de pendule". Bulletin de science horlogère. 2013 (5): 22-30.
2. Pendule. (nd). Dans Wikipedia. Récupéré le 7 mars 2018 sur en.wikipedia.org.
3. Pendule (mathématiques). (nd). Dans Wikipedia. Récupéré le 7 mars 2018 sur en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826). L'histoire de l'Inquisition d'Espagne. Abrégé et traduit par George B. Whittaker. L'université d'Oxford. pp. XX, préface.
5. Poe, Edgar Allan (1842). La fosse et le pendule. Booklassic. ISBN 9635271905.