THÉORÈME DE TORRICELLI: EN QUOI IL CONSISTE, FORMULES ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Le théorème Torricelli ou principe Torricelli stipule que le débit du liquide sortant de l'orifice dans la paroi d'un réservoir ou d'un conteneur, est identique à celui qui acquiert un objet est laissé tomber librement d'une hauteur égale à la surface libre de liquide dans le trou.

Le théorème est illustré dans la figure suivante:

Illustration du théorème de Torricelli. Source: self made.

En raison du théorème de Torricelli, on peut alors affirmer que la vitesse de sortie du liquide à travers un orifice qui est à hauteur h en dessous de la surface libre du liquide est donnée par la formule suivante:

Où g est l'accélération de la gravité et h est la hauteur entre le trou et la surface libre du liquide.

Evangelista Torricelli était un physicien et mathématicien né dans la ville de Faenza, en Italie en 1608. Torricelli est crédité de l'invention du baromètre à mercure et en reconnaissance il y a une unité de pression appelée «torr», équivalente à un millimètre de mercure (mm de Hg).

Preuve du théorème

Dans le théorème de Torricelli et dans la formule qui donne la vitesse, on suppose que les pertes de viscosité sont négligeables, tout comme en chute libre on suppose que le frottement dû à l'air entourant l'objet en chute est négligeable.

L'hypothèse ci-dessus est raisonnable dans la plupart des cas et implique également la conservation de l'énergie mécanique.

Pour prouver le théorème, nous allons d'abord trouver la formule de la vitesse pour un objet qui est libéré avec une vitesse initiale nulle, à partir de la même hauteur que la surface du liquide dans le réservoir.

Le principe de conservation de l'énergie sera appliqué pour obtenir la vitesse de la chute de l'objet juste au moment où il est descendu d'une hauteur h égale à celle du trou à la surface libre.

Puisqu'il n'y a pas de pertes par frottement, il est valable d'appliquer le principe de conservation de l'énergie mécanique. Supposons que l'objet qui tombe ait une masse m et que la hauteur h soit mesurée à partir du niveau de sortie du liquide.

Objet qui tombe

Lorsque l'objet est libéré d'une hauteur égale à celle de la surface libre du liquide, son énergie n'est que le potentiel gravitationnel, puisque sa vitesse est nulle et donc son énergie cinétique est nulle. L'énergie potentielle Ep est donnée par:

Ep = mgh

Lorsqu'il passe devant le trou, sa hauteur est nulle, alors l'énergie potentielle est nulle, donc il n'a que l'énergie cinétique Ec donnée par:

Ec = ½ mv ²

Puisque l'énergie est conservée Ep = Ec à partir de ce qui est obtenu:

½ mv ² = mgh

En résolvant la vitesse v, la formule de Torricelli est alors obtenue:

Liquide sortant du trou

Ensuite, nous trouverons la vitesse de sortie du liquide à travers le trou, afin de montrer qu'elle coïncide avec celle qui vient d'être calculée pour un objet tombant librement.

Pour cela nous nous baserons sur le principe de Bernoulli, qui n'est rien de plus que la conservation de l'énergie appliquée aux fluides.

Le principe de Bernoulli est formulé comme ceci:

L'interprétation de cette formule est la suivante:

• Le premier terme représente l'énergie cinétique du fluide par unité de volume
• Le second représente le travail effectué par pression par unité de section transversale
• Le troisième représente l'énergie potentielle gravitationnelle par unité de volume de fluide.

Comme nous partons du principe qu'il s'agit d'un fluide idéal, dans des conditions non turbulentes avec des vitesses relativement faibles, il est pertinent d'affirmer que l'énergie mécanique par unité de volume dans le fluide est constante dans toutes ses régions ou sections transversales.

Dans cette formule, V est la vitesse du fluide, ρ la densité du fluide, P la pression et z la position verticale.

La figure ci-dessous montre la formule de Torricelli à partir du principe de Bernoulli.

Nous appliquons la formule de Bernoulli sur la surface libre du liquide que nous notons (1) et sur le trou de sortie que nous notons (2). Le niveau de tête zéro a été choisi au ras du trou de sortie.

En partant du principe que la section efficace en (1) est beaucoup plus grande qu'en (2), on peut alors supposer que la vitesse de descente du liquide en (1) est pratiquement négligeable.

Pour cette raison V ₁ = 0 a été réglé, la pression à laquelle le liquide est soumis en (1) est la pression atmosphérique et la hauteur mesurée à partir de l'orifice est h.

Pour la section de sortie (2), on suppose que la vitesse de sortie est v, la pression à laquelle le liquide est soumis à la sortie est également la pression atmosphérique et la hauteur de sortie est nulle.

Remplacez les valeurs correspondant aux sections (1) et (2) dans la formule de Bernoulli et définissez-les égales. L'égalité tient parce que nous supposons que le fluide est idéal et qu'il n'y a pas de pertes de friction visqueuses. Une fois tous les termes simplifiés, la vitesse au trou de sortie est obtenue.

L'encadré ci-dessus montre que le résultat obtenu est le même que celui d'un objet tombant librement,

Exercices résolus

Exercice 1

I) Le petit tuyau de sortie d'un réservoir d'eau est à 3 m sous la surface de l'eau. Calculez la vitesse de sortie de l'eau.

Solution:

La figure suivante montre comment la formule de Torricelli est appliquée dans ce cas.

Exercice 2

II) En supposant que le tuyau de sortie du réservoir de l'exercice précédent a un diamètre de 1 cm, calculez le débit de sortie d'eau.

Solution:

Le débit est le volume de liquide sortant par unité de temps, et est calculé simplement en multipliant la surface de l'orifice de sortie par la vitesse de sortie.

La figure suivante montre les détails du calcul.

Exercice 3

III) Déterminez la hauteur de la surface libre de l'eau dans un récipient si vous savez

que dans un trou au fond du récipient, l'eau sort à 10 m / s.

Solution:

Même lorsque le trou est au fond du récipient, la formule Torricelli peut toujours être appliquée.

La figure suivante montre le détail des calculs.

Références

1. Wikipédia. Théorème de Torricelli.
2. Hewitt, P. Science physique conceptuelle. Cinquième édition.119.
3. Jeune, Hugh. 2016. Physique de l'Université Sears-Zemansky avec la physique moderne. 14e éd. Pearson. 384.