THÉORÈME DE MOIVRE: DÉMONSTRATION ET EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

Le théorème de Moivre a appliqué des processus fondamentaux d'algèbre, tels que les pouvoirs et l'extraction de racines dans des nombres complexes. Le théorème a été énoncé par le célèbre mathématicien français Abraham de Moivre (1730), qui a associé les nombres complexes à la trigonométrie.

Abraham Moivre a fait cette association à travers les expressions du sinus et du cosinus. Ce mathématicien a généré une sorte de formule par laquelle il est possible d'élever un nombre complexe z à la puissance n, qui est un entier positif supérieur ou égal à 1.

Quel est le théorème de Moivre?

Le théorème de Moivre énonce ce qui suit:

Si nous avons un nombre complexe sous la forme polaire z = r _Ɵ, où r est le module du nombre complexe z, et l'angle Ɵ est appelé l'amplitude ou l'argument de tout nombre complexe avec 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, pour calculer son n– e puissance il ne sera pas nécessaire de la multiplier par elle-même n fois; en d'autres termes, il n'est pas nécessaire de fabriquer le produit suivant:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *… *} r _Ɵ n fois.

Au contraire, le théorème dit qu'en écrivant z sous sa forme trigonométrique, pour calculer la nième puissance on procède comme suit:

Si z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) alors z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Par exemple, si n = 2, alors z ² = r ². Si n = 3, alors z ³ = z ² _* z. En outre:

z ³ = r ² _* r = r ³.

De cette manière, les rapports trigonométriques du sinus et du cosinus peuvent être obtenus pour des multiples d'un angle, à condition que les rapports trigonométriques de l'angle soient connus.

De la même manière, il peut être utilisé pour trouver des expressions plus précises et moins déroutantes pour la racine n-ième d'un nombre complexe z, de sorte que z ⁿ = 1.

Pour prouver le théorème de Moivre, le principe de l'induction mathématique est utilisé: si un entier "a" a une propriété "P", et si pour tout entier "n" supérieur à "a" qui a la propriété "P" Il répond que n + 1 a également la propriété "P", alors tous les entiers supérieurs ou égaux à "a" ont la propriété "P".

Manifestation

Ainsi, la preuve du théorème se fait avec les étapes suivantes:

Base inductive

Il est d'abord vérifié pour n = 1.

Puisque z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, le théorème est valable pour n = 1.

Hypothèse inductive

La formule est supposée vraie pour un nombre entier positif, c'est-à-dire n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Vérification

Il est prouvé que c'est vrai pour n = k + 1.

Puisque z ^{k + 1} = z ^k _* z, alors z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Ensuite, les expressions sont multipliées:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Pendant un moment, le facteur r ^{k + 1} est ignoré, et le facteur commun i est pris:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Puisque i ² = -1, nous le substituons dans l'expression et nous obtenons:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Maintenant, la partie réelle et la partie imaginaire sont ordonnées:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Pour simplifier l'expression, les identités trigonométriques de la somme des angles sont appliquées pour le cosinus et le sinus, qui sont:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Dans ce cas, les variables sont les angles Ɵ et kƟ. En appliquant les identités trigonométriques, nous avons:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

De cette façon, l'expression est:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Ainsi, on pourrait montrer que le résultat est vrai pour n = k + 1. Par le principe de l'induction mathématique, on conclut que le résultat est vrai pour tous les nombres entiers positifs; c'est-à-dire n ≥ 1.

Entier négatif

Le théorème de Moivre est également appliqué lorsque n ≤ 0. Considérons un entier négatif «n»; alors "n" peut s'écrire "-m", c'est-à-dire n = -m, où "m" est un entier positif. Donc:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Pour obtenir l'exposant «m» de manière positive, l'expression s'écrit inversement:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Maintenant, on utilise que si z = a + b * i est un nombre complexe, alors 1 ÷ z = ab * i. Donc:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

En utilisant que cos (x) = cos (-x) et que -sen (x) = sin (-x), nous avons:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Ainsi, on peut dire que le théorème s'applique à toutes les valeurs entières de "n".

Exercices résolus

Calcul des puissances positives

L'une des opérations avec les nombres complexes sous leur forme polaire est la multiplication par deux de ceux-ci; dans ce cas, les modules sont multipliés et les arguments sont ajoutés.

Si vous avez deux nombres complexes z _{1 et} z ₂ et que vous souhaitez calculer (z ₁ * z ₂) ², procédez comme suit:

z ₁ z ₂ = *

La propriété distributive s'applique:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂).

Ils sont regroupés en prenant le terme «i» comme facteur commun des expressions:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Puisque i ² = -1, il est substitué dans l'expression:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Les termes réels sont regroupés avec le réel et l'imaginaire avec l'imaginaire:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Enfin, les propriétés trigonométriques s'appliquent:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

En conclusion:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

Exercice 1

Écrivez le nombre complexe sous forme polaire si z = - 2 -2i. Puis, en utilisant le théorème de Moivre, calculez z ⁴.

Solution

Le nombre complexe z = -2 -2i est exprimé sous la forme rectangulaire z = a + bi, où:

a = -2.

b = -2.

Sachant que la forme polaire est z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), nous devons déterminer la valeur du module "r" et la valeur de l'argument "Ɵ". Puisque r = √ (a² + b²), les valeurs données sont substituées:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Ensuite, pour déterminer la valeur de «Ɵ», la forme rectangulaire de celui-ci est appliquée, qui est donnée par la formule:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Puisque tan (Ɵ) = 1 et que nous avons un <0, alors nous avons:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Comme la valeur de «r» et «Ɵ» a déjà été obtenue, le nombre complexe z = -2 -2i peut être exprimé sous forme polaire en substituant les valeurs:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Nous utilisons maintenant le théorème de Moivre pour calculer z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Exercice 2

Trouvez le produit des nombres complexes en l'exprimant sous forme polaire:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

Puis calculez (z1 * z2) ².

Solution

Tout d'abord, le produit des nombres donnés est formé:

z ₁ z ₂ = *

Ensuite, les modules sont multipliés les uns avec les autres, et les arguments sont ajoutés:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

L'expression est simplifiée:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

Enfin, le théorème de Moivre s'applique:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

Calcul des puissances négatives

Pour diviser deux nombres complexes z _{1 et} z ₂ sous leur forme polaire, le module est divisé et les arguments sont soustraits. Ainsi, le quotient est z ₁ ÷ z ₂ et s'exprime comme suit:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Comme dans le cas précédent, si l'on veut calculer (z1 ÷ z2) ³, la division est d'abord effectuée puis le théorème de Moivre est utilisé.

Exercice 3

Dés:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), calculer (z1 ÷ z2) ³.

Solution

En suivant les étapes décrites ci-dessus, on peut conclure que:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Références

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Du théorème de Moivre pour les identités trigonométriques. Projet de démonstration Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopédie des mathématiques.
4. Max Peters, WL (1972). Algèbre et trigonométrie.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Algèbre linéaire. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Précalcul. Pearson Education.