Le théorème de Lamy stipule que lorsqu'un corps rigide est en équilibre et sous l'action de trois forces coplanaires (forces au même plan), ses lignes d'action se rencontrent en un même point.
Le théorème a été déduit par le physicien et religieux français Bernard Lamy et provient de la loi des sinus. Il est largement utilisé pour trouver la valeur d'un angle, de la ligne d'action d'une force ou pour former le triangle des forces.
Théorème de Lamy
Le théorème stipule que pour que la condition d'équilibre soit remplie, les forces doivent être coplanaires; c'est-à-dire que la somme des forces exercées sur un point est nulle.
De plus, comme on peut le voir sur l'image suivante, il est vrai qu'en prolongeant les lignes d'action de ces trois forces, elles convergent en un même point.
De cette manière, si trois forces qui sont dans le même plan et sont concurrentes, la grandeur de chaque force sera proportionnelle au sinus de l'angle opposé, qui sont formés par les deux autres forces.
Ainsi, nous avons que T1, à partir du sinus de α, est égal au rapport de T2 / β, qui à son tour est égal au rapport de T3 / Ɵ, soit:
De là, il s'ensuit que les modules de ces trois forces doivent être égaux si les angles que chaque paire de forces forme entre eux sont égaux à 120º.
Il est possible que l'un des angles soit obtus (mesure entre 90 0 et 180 0). Dans ce cas, le sinus de cet angle sera égal au sinus de l'angle supplémentaire (dans sa paire, il mesure 180 0).
Exercice résolu
Il existe un système composé de deux blocs J et K, qui pendent de diverses cordes à des angles par rapport à l'horizontale, comme le montre la figure. Le système est en équilibre et le bloc J pèse 240 N. Déterminer le poids du bloc K.
Solution
Par le principe d'action et de réaction, les contraintes exercées dans les blocs 1 et 2 seront égales à leur poids.
Maintenant, un diagramme du corps libre est construit pour chaque bloc afin de déterminer les angles qui forment le système.
On sait que la corde qui va de A à B a un angle de 30 0, donc l'angle qui la complète est égal à 60 0. De cette façon, vous arrivez à 90 0.
Par contre, là où se trouve le point A, il y a un angle de 60 ° par rapport à l'horizontale; l'angle entre la verticale et T A sera = 180 0 - 60 0 - 90 0 = 30 0.
On obtient ainsi que l'angle entre AB et BC = (30 0 + 90 0 + 30 0) et (60 0 + 90 0 + 60) = 150 0 et 210 0. Lorsqu'il est ajouté, l'angle total est de 360 0.
En appliquant le théorème de Lamy, nous avons:
T BC / sin 150 0 = P A / sin 150 0
T BC = P A
T BC = 240N.
Au point C, où se trouve le bloc, l'angle entre l'horizontale et la corde BC est de 30 0, donc l'angle complémentaire est égal à 60 0.
Par contre, il y a un angle de 60 0 au point CD; l'angle entre la verticale et T C sera = 180 0 - 90 0 - 60 0 = 30 0.
On obtient ainsi que l'angle dans le bloc K est = (30 0 + 60 0)
Application du théorème de Lamy au point C:
T BC / sin 150 0 = B / sin 90 0
Q = T BC * sin 90 0 / sin 150 0
Q = 240 N * 1 / 0,5
Q = 480 N.
Références
- Andersen, K. (2008). La géométrie d'un art: l'histoire de la théorie mathématique de la perspective d'Alberti à Monge. Springer Science & Business Media.
- Ferdinand P. Beer, ER (2013). Mécanique pour ingénieurs, statique. McGraw-Hill Interamericana.
- Francisco Español, JC (2015). Résolution de problèmes d'algèbre linéaire. Ediciones Paraninfo, SA
- Graham, J. (2005). Force et mouvement. Houghton Mifflin Harcourt.
- Harpe, P. d. (2000). Sujets de la théorie des groupes géométriques. Presse de l'Université de Chicago.
- P. A Tipler et, GM (2005). Physique pour la science et la technologie. Volume I. Barcelone: Reverté SA