THÉORÈME D'EXISTENCE ET D'UNICITÉ: PREUVE, EXEMPLES ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Le théorème d'existence et d'unicité établit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle du premier ordre, avec une condition initiale donnée, ait une solution et que cette solution soit la seule.

Cependant, le théorème ne donne aucune technique ni aucune indication sur la manière de trouver une telle solution. Le théorème d'existence et d'unicité est également étendu aux équations différentielles d'ordre supérieur avec des conditions initiales, ce que l'on appelle le problème de Cauchy.

Figure 1. Une équation différentielle avec la condition initiale et sa solution est présentée. Le théorème d'existence et d'unicité garantit que c'est la seule solution possible.

L'énoncé formel du théorème d'existence et d'unicité est le suivant:

«Pour une équation différentielle y '(x) = f (x, y) de condition initiale y (a) = b, il existe au moins une solution dans une région rectangulaire du plan XY qui contient le point (a, b), si f (x, y) est continue dans cette région. Et si la dérivée partielle de f par rapport à y: g = ∂f / ∂y est continue dans cette même région rectangulaire, alors la solution est unique au voisinage du point (a, b) contenu dans la région de continuité de fy g. "

L'utilité de ce théorème réside d'abord dans le fait de savoir quelles sont les régions du plan XY dans lesquelles une solution peut exister et aussi de savoir si la solution trouvée est la seule possible ou s'il y en a d'autres.

Notez que dans le cas où la condition d'unicité n'est pas satisfaite, le théorème ne peut pas prédire combien de solutions au total le problème de Cauchy a: peut-être est-ce une, deux ou plus.

Preuve de l'existence et théorème d'unicité

Figure 2. Charles Émile Picard (1856-1941) est crédité d'une des premières preuves du théorème d'existence et d'unicité. Source: Wikimedia Commons.

Pour ce théorème, deux preuves possibles sont connues, l'une est la preuve de Charles Émile Picard (1856-1941) et l'autre est due à Giuseppe Peano (1858-1932) d'après les travaux d'Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Il est à noter que les esprits mathématiques les plus brillants du dix-neuvième siècle ont participé à la démonstration de ce théorème, de sorte que l'on peut deviner qu'aucun des deux n'est simple.

Pour prouver formellement le théorème, il faut d'abord établir une série de concepts mathématiques plus avancés, tels que les fonctions de type Lipschitz, les espaces de Banach, le théorème d'existence de Carathéodory, et plusieurs autres, qui sortent du cadre de l'article.

Une grande partie des équations différentielles traitées en physique traitent de fonctions continues dans les régions d'intérêt, nous nous limiterons donc à montrer comment le théorème est appliqué dans des équations simples.

Exemples

- Exemple 1

Considérons l'équation différentielle suivante avec une condition initiale:

y '(x) = - y; avec y (1) = 3

Y a-t-il une solution à ce problème? Est-ce la seule solution possible?

Réponses

En premier lieu, l'existence de la solution de l'équation différentielle est évaluée et qu'elle remplit également la condition initiale.

Dans cet exemple f (x, y) = - et la condition d'existence nécessite de savoir si f (x, y) est continue dans une région du plan XY qui contient le point de coordonnées x = 1, y = 3.

Mais f (x, y) = - y est la fonction affine, qui est continue dans le domaine des nombres réels et existe dans toute la gamme des nombres réels.

Par conséquent, on conclut que f (x, y) est continue dans R ², donc le théorème garantit l'existence d'au moins une solution.

Sachant cela, il faut évaluer si la solution est unique ou si, au contraire, il y en a plusieurs. Pour cela, il faut calculer la dérivée partielle de f par rapport à la variable y:

Alors g (x, y) = -1 qui est une fonction constante, qui est également définie pour tout R ² et y est également continue. Il s'ensuit que le théorème d'existence et d'unicité garantit que ce problème de valeur initiale a une solution unique, bien qu'il ne nous dise pas ce que c'est.

- Exemple 2

Considérons l'équation différentielle ordinaire du premier ordre suivante avec la condition initiale:

y '(x) = 2√y; et (0) = 0.

Y a-t-il une solution y (x) à ce problème? Si tel est le cas, déterminez s'il y en a un ou plusieurs.

Répondre

On considère la fonction f (x, y) = 2√y. La fonction f n'est définie que pour y≥0, car on sait qu'un nombre négatif n'a pas de racine réelle. De plus f (x, y) est continue dans le demi-plan supérieur de R ² incluant l'axe X, de sorte que l'existence et le théorème d'unicité garantissent au moins une solution dans ladite région.

Maintenant, la condition initiale x = 0, y = 0 est sur le bord de la région de solution. Ensuite, nous prenons la dérivée partielle de f (x, y) par rapport à y:

∂f / ∂y = 1 / √y

Dans ce cas, la fonction n'est pas définie pour y = 0, précisément là où se trouve la condition initiale.

Que nous dit le théorème? Il nous dit que bien que nous sachions qu'il existe au moins une solution dans le demi-plan supérieur de l'axe X, y compris l'axe X, puisque la condition d'unicité n'est pas remplie, il n'y a aucune garantie qu'il y aura une solution unique.

Cela signifie qu'il pourrait y avoir une ou plusieurs solutions dans la région de continuité de f (x, y). Et comme toujours, le théorème ne nous dit pas ce qu'ils pourraient être.

Exercices résolus

- Exercice 1

Résolvez le problème de Cauchy dans l'exemple 1:

y '(x) = - y; avec y (1) = 3.

Trouvez la fonction y (x) qui satisfait l'équation différentielle et la condition initiale.

Solution

Dans l'exemple 1, il a été déterminé que ce problème a une solution et est également unique. Pour trouver la solution, la première chose à noter est qu'il s'agit d'une équation différentielle du premier degré de variables séparables, qui s'écrit comme suit:

Diviser entre et dans les deux membres pour séparer les variables que nous avons:

L'intégrale indéfinie est appliquée dans les deux membres:

Résoudre les intégrales indéfinies que nous avons:

où C est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale:

Substituer la valeur de C et la réorganiser reste:

Application de la propriété suivante des logarithmes:

L'expression ci-dessus peut être réécrite comme ceci:

La fonction exponentielle avec base e dans les deux membres est appliquée pour obtenir:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Ce qui équivaut à:

y = 3e e ^-x

C'est la solution unique de l'équation y '= -y avec y (1) = 3. Le graphique de cette solution est montré à la figure 1.

- Exercice 2

Trouvez deux solutions au problème posé dans l'exemple 2:

y '(x) = 2√ (y); et (0) = 0.

Solution

C'est aussi une équation de variables séparables, qui, écrite sous forme différentielle, ressemble à ceci:

dy / √ (y) = 2 dx

Prendre l'intégrale indéfinie dans les deux membres reste:

2 √ (y) = 2 x + C

Puisque nous savons que y≥0 dans la région de solution, nous avons:

y = (x + C) ²

Mais comme la condition initiale x = 0, y = 0 doit être remplie, alors la constante C est nulle et la solution suivante reste:

y (x) = x ².

Mais cette solution n'est pas unique, la fonction y (x) = 0 est aussi une solution au problème posé. Le théorème d'existence et d'unicité appliqué à ce problème dans l'exemple 2 avait déjà prédit qu'il pourrait y avoir plus d'une solution.

Références

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Théorie des équations différentielles ordinaires, New York: McGraw-Hill.
2. Encyclopédie des mathématiques. Théorème de Cauchy-Lipschitz. Récupéré de: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, p. 454–457. Récupéré de: gallica.bnf.fr.
4. Wikipédia. Méthode des approximations successives de Picard. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Théorème de Picard-Lindelöf. Récupéré de: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Equations différentielles élémentaires avec applications Prentice Hall.