La somme de Riemann est le nom donné au calcul approché d'une intégrale définie, au moyen d'une sommation discrète avec un nombre fini de termes. Une application courante est l'approximation de la zone de fonctions sur un graphe.

C'est le mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) qui a le premier proposé une définition rigoureuse de l'intégrale d'une fonction dans un intervalle donné. Il l'a fait savoir dans un article publié en 1854.

Figure 1. La somme de Riemann est définie sur une fonction f et sur une partition dans l'intervalle. Source: Fanny Zapata.

La somme de Riemann est définie sur une fonction y = f (x), avec x appartenant à l'intervalle fermé. Sur cet intervalle, une partition P de n éléments est faite:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Cela signifie que l'intervalle est divisé comme suit:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

La figure 1 montre graphiquement la somme de Riemann de la fonction f dans l'intervalle sur une partition de quatre sous-intervalles, les rectangles gris.

La somme représente l'aire totale des rectangles et le résultat de cette somme se rapproche numériquement de l'aire sous la courbe f, entre les abscisses x = x _{0 et} x = x ₄.

Bien entendu, l'approximation de l'aire sous la courbe s'améliore considérablement à mesure que le nombre n de partitions est plus grand. De cette manière, la somme converge vers l'aire sous la courbe, lorsque le nombre n de partitions tend vers l'infini.

Formules et propriétés

La somme de Riemann de la fonction f (x) sur la partition:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Défini sur l'intervalle, il est donné par:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Où t _k est une valeur dans l'intervalle. Dans la somme de Riemann, des intervalles réguliers de largeur Δx = (b - a) / n sont généralement utilisés, où a et b sont les valeurs minimale et maximale de l'abscisse, tandis que n est le nombre de subdivisions.

Dans ce cas, la somme droite de Riemann est:

Sd (f, n) = * Δx

Figure 2. Somme droite de Riemann. Source: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Alors que la somme de Riemann à gauche est exprimée comme suit:

Si (f, n) = * Δx

Figure 3. Somme de Riemann gauche. Source: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Enfin la somme centrale de Riemann est:

Sc (f, n) = * Δx

Figure 4. Somme de Riemann intermédiaire. Source: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Selon l'endroit où se trouve le point t _k dans l'intervalle, la somme de Riemann peut surestimer ou sous-estimer la valeur exacte de l'aire sous la courbe de la fonction y = f (x). En d'autres termes, les rectangles peuvent soit dépasser de la courbe, soit être légèrement en dessous.

L'aire sous la courbe

La propriété principale de la somme de Riemann et dont découle son importance, est que si le nombre de subdivisions tend vers l'infini, le résultat de la somme converge vers l'intégrale définie de la fonction:

Exercices résolus

- Exercice 1

Calculez la valeur de l'intégrale définie entre a = -2 à b = +2 de la fonction:

f (x) = x ²

Utilisez une somme de Riemann. Pour ce faire, trouvez d'abord la somme pour n partitions régulières de l'intervalle, puis prenez la limite mathématique pour le cas où le nombre de partitions tend vers l'infini.

Solution

Voici les étapes à suivre:

-Tout d'abord, l'intervalle de partition est défini comme:

Δx = (b - a) / n.

-Ensuite, la somme de Riemann à droite correspondant à la fonction f (x) ressemble à ceci:

-Et puis il est soigneusement substitué dans la sommation:

-La prochaine étape consiste à séparer les sommes et à prendre les quantités constantes comme facteur commun de chaque somme. Il est nécessaire de prendre en compte que l'indice est i, donc les nombres et les termes avec n sont considérés comme constants:

-Chaque somme est évaluée, car pour chacune d'elles il existe des expressions appropriées. Par exemple, la première des sommes donne n:

-Enfin, l'intégrale à calculer est:

Le lecteur peut vérifier qu'il s'agit du résultat exact, qui peut être obtenu en résolvant l'intégrale indéfinie et en évaluant les limites de l'intégration par la règle de Barrow.

- Exercice 2

Déterminez approximativement la zone sous la fonction:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Entrez x = -1 et x = + 1, en utilisant une somme de Riemann centrale avec 10 partitions. Comparez avec le résultat exact et estimez la différence en pourcentage.

Solution

Le pas ou incrément entre deux valeurs discrètes successives est:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Donc la partition P sur laquelle les rectangles sont définis ressemble à ceci:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}

Mais comme on veut la somme centrale, la fonction f (x) sera évaluée aux milieux des sous-intervalles, c'est-à-dire dans l'ensemble:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.

La somme (centrale) de Riemann ressemble à ceci:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

La fonction f étant symétrique, il est possible de réduire la somme à seulement 5 termes et le résultat est multiplié par deux:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683

La fonction donnée dans cet exemple n'est autre que la cloche gaussienne bien connue (normalisée, avec une moyenne égale à zéro et un écart type un). L'aire sous la courbe dans l'intervalle pour cette fonction est connue pour être 0,6827.

Figure 5. Aire sous une cloche gaussienne approximée par une somme de Riemann. Source: F. Zapata.

Cela signifie que la solution approximative avec seulement 10 termes correspond à la solution exacte à trois décimales. Le pourcentage d'erreur entre l'intégrale approximative et exacte est de 0,07%.

Références

1. Casteleiro, JM et Gómez-Álvarez, RP (2002). Calcul intégral (éd. Illustré). Madrid: Éditorial ESIC.
2. Unican. Histoire du concept d'intégrale. Récupéré de: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann fait les sommes. Récupéré de: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipédia. Somme de Riemann. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Intégration de Riemann. Récupéré de: es.wikipedia.com