SOMME DES CARRÉS DE DEUX NOMBRES CONSÉCUTIFS - MATEMATIQUES - 2025

Pour savoir quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs, une formule peut être trouvée, avec laquelle il suffit de substituer les nombres impliqués pour obtenir le résultat.

Cette formule peut être trouvée de manière générale, c'est-à-dire qu'elle peut être utilisée pour n'importe quelle paire de nombres consécutifs.

En disant «nombres consécutifs», vous dites implicitement que les deux nombres sont des nombres entiers. Et par «les carrés», il fait référence à la quadrature de chaque nombre.

Par exemple, si les nombres 1 et 2 sont considérés, leurs carrés sont 1² = 1 et 2² = 4, par conséquent, la somme des carrés est 1 + 4 = 5.

Par contre, si les nombres 5 et 6 sont pris, leurs carrés sont 5² = 25 et 6² = 36, avec lesquels la somme des carrés est 25 + 36 = 61.

Quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs?

Le but est maintenant de généraliser ce qui a été fait dans les exemples précédents. Pour ce faire, il est nécessaire de trouver une manière générale d'écrire un entier et son entier consécutif.

Si vous regardez deux entiers consécutifs, par exemple 1 et 2, vous pouvez voir que 2 peut s'écrire 1 + 1. De plus, si les nombres 23 et 24 sont observés, on conclut que 24 peut être écrit 23 + 1.

Pour les entiers négatifs, ce comportement peut également être vérifié. En effet, si on considère -35 et -36, on voit que -35 = -36 + 1.

Par conséquent, si un entier "n" est choisi, alors l'entier consécutif à "n" est "n + 1". Ainsi, une relation entre deux entiers consécutifs a déjà été établie.

Quelle est la somme des carrés?

Étant donné deux entiers consécutifs "n" et "n + 1", alors leurs carrés sont "n²" et "(n + 1) ²". Utilisant les propriétés de produits notables, ce dernier terme peut s'écrire comme suit:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Enfin, la somme des carrés des deux nombres consécutifs est donnée par l'expression:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Si la formule précédente est détaillée, on voit qu'il suffit de connaître le plus petit entier "n" pour savoir quelle est la somme des carrés, c'est-à-dire qu'il suffit d'utiliser le plus petit des deux entiers.

Une autre perspective de la formule obtenue est: les nombres choisis sont multipliés, puis le résultat obtenu est multiplié par 2 et enfin 1 est ajouté.

D'autre part, le premier addend sur la droite est un nombre pair, et l'ajout de 1 entraînera un nombre impair. Cela dit que le résultat de l'addition des carrés de deux nombres consécutifs sera toujours un nombre impair.

On peut également noter que puisque deux nombres au carré sont ajoutés, ce résultat sera toujours positif.

Exemples

1.- Considérons les nombres entiers 1 et 2. Le plus petit entier est 1. En utilisant la formule précédente, on conclut que la somme des carrés est: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Ce qui concorde avec les décomptes effectués au début.

2.- Si les entiers 5 et 6 sont pris, alors la somme des carrés sera 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, ce qui coïncide également avec le résultat obtenu au début.

3.- Si les entiers -10 et -9 sont choisis, alors la somme de leurs carrés est: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Soit les nombres entiers de cette opportunité -1 et 0, alors la somme de leurs carrés est donnée par 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Références

1. Bouzas, PG (2004). Algèbre de lycée: travail coopératif en mathématiques. Éditions Narcea.
2. Cabello, RN (2007). Pouvoirs et racines. Publiez vos livres.
3. Cabrera, VM (1997). Calcul 4000. Progreso éditorial.
4. Guevara, MH (nd). L'ensemble des nombres entiers. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
6. Smith, SA (2000). Algèbre. Pearson Education.
7. Thomson. (2006). Passer le GED: Mathématiques. Édition InterLingua.