SÉQUENCES QUADRATIQUES: EXEMPLES, RÈGLES ET EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

Les successions quadratiques, en termes mathématiques, consistent en des séquences de nombres qui suivent une certaine règle arithmétique. Il est intéressant de connaître cette règle pour déterminer l'un des termes d'une séquence.

Une façon de faire est de déterminer la différence entre deux termes successifs et de voir si la valeur obtenue est toujours répétée. Lorsque c'est le cas, on dit que c'est une séquence régulière.

Les séquences de nombres sont un moyen d'organiser des séquences de nombres. Source: pixabay.com

Mais s'il ne se répète pas, vous pouvez essayer d'examiner la différence entre les différences et voir si cette valeur est constante. Si tel est le cas, il s'agit d'une séquence quadratique.

Exemples de séquences régulières et de séquences quadratiques

Les exemples suivants aident à clarifier ce qui a été expliqué jusqu'à présent:

Exemple de succession régulière

Soit la suite S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Cette séquence, notée S, est un ensemble de nombres infinis, dans ce cas d'entiers.

On voit qu'il s'agit d'une séquence régulière, car chaque terme est obtenu en ajoutant 3 au terme ou élément précédent:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

En d'autres termes: cette séquence est régulière car la différence entre le terme suivant et le précédent donne une valeur fixe. Dans l'exemple donné, cette valeur est 3.

Les séquences régulières obtenues en ajoutant une quantité fixe au terme précédent sont également appelées progressions arithmétiques. Et la différence -constante- entre les termes successifs est appelée le rapport et est notée R.

Exemple de séquence non régulière et quadratique

Voyez maintenant la séquence suivante:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Lorsque des différences successives sont calculées, les valeurs suivantes sont obtenues:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Leurs différences ne sont pas constantes, on peut donc dire que ce n'est PAS une séquence régulière.

Cependant, si nous considérons l'ensemble des différences, nous avons une autre séquence, qui sera notée S _diff:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Cette nouvelle séquence est en effet une séquence régulière, puisque chaque terme est obtenu en ajoutant la valeur fixe R = 2 à la précédente. C'est pourquoi nous pouvons affirmer que S est une suite quadratique.

Règle générale de construction d'une séquence quadratique

Il existe une formule générale pour construire une séquence quadratique:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Dans cette formule, T _n est le terme en position n de la séquence. A, B et C sont des valeurs fixes, tandis que n varie un par un, c'est-à-dire 1, 2, 3, 4,…

Dans la séquence S de l'exemple précédent A = 1, B = 1 et C = 0. De là, il s'ensuit que la formule qui génère tous les termes est: T _n = n ² + n

C'est-à-dire:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Différence entre deux termes consécutifs d'une séquence quadratique

T _{n + 1} - T _n = -

Développer l'expression à travers un produit remarquable reste:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

En le simplifiant, vous obtenez:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

C'est la formule qui donne la séquence des différences S _Dif qui peut s'écrire comme ceci:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Où clairement le terme suivant est 2 ∙ Parfois le précédent. Autrement dit, le rapport de la séquence de différences S _diff est: R = 2 ∙ A.

Problèmes résolus de séquences quadratiques

Exercice 1

Soit la suite S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Déterminez si:

i) Est-ce régulier ou non

ii) Est-ce quadratique ou non

iii) C'était quadratique, la séquence des différences et leur rapport

Réponses

i) Calculons la différence entre les termes suivants et précédents:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

On peut affirmer que la suite S n'est pas régulière, car la différence entre les termes successifs n'est pas constante.

ii) La séquence des différences est régulière, car la différence entre ses termes est la valeur constante 2. Par conséquent, la séquence d'origine S est quadratique.

iii) Nous avons déjà déterminé que S est quadratique, la séquence des différences est:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} et son rapport est R = 2.

Exercice 2

Soit la séquence S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} de l'exemple précédent, où il a été vérifié qu'elle est quadratique. Déterminer:

i) La formule qui détermine le terme général T _n.

ii) Vérifiez les troisième et cinquième trimestres.

iii) La valeur du dixième terme.

Réponses

i) La formule générale de T _n est A ∙ n ² + B ∙ n + C. Ensuite, il reste à connaître les valeurs de A, B et C.

La séquence des différences a un rapport 2. De plus, pour toute séquence quadratique, le rapport R est 2 ∙ A comme indiqué dans les sections précédentes.

R = 2 ∙ A = 2 ce qui nous amène à conclure que A = 1.

Le premier terme de la suite de différences S _Dif est 2 et doit satisfaire A ∙ (2n + 1) + B, avec n = 1 et A = 1, soit:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

en résolvant B nous obtenons: B = -1

Alors le premier terme de S (n = 1) vaut 1, soit: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C.Comme nous savons déjà que A = 1 et B = -1, en remplaçant nous avons:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

En résolvant C, nous obtenons sa valeur: C = 1.

En résumé:

A = 1, B = -1 et C = 1

Alors le nième terme sera T _n = n ² - n + 1

ii) Le troisième terme T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 et il est vérifié. Le cinquième T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 qui est également vérifié.

iii) Le dixième terme sera T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Exercice 3

Séquence des domaines pour l'exercice 3. Source: propre élaboration.

La figure montre une séquence de cinq chiffres. Le treillis représente l'unité de longueur.

i) Déterminez la séquence de l'aire des figures.

ii) Montrez qu'il s'agit d'une suite quadratique.

iii) Trouvez la zone de la figure 10 (non illustrée).

Réponses

i) La séquence S correspondant à la zone de la séquence de chiffres est:

S = {0, 2, 6, 12, 20,….. }

ii) La séquence correspondant aux différences consécutives des termes de S est:

S _diff = {2, 4, 6, 8,….. }

Puisque la différence entre les termes consécutifs n'est pas constante, alors S n'est pas une séquence régulière. Reste à savoir s'il est quadratique, pour lequel on refait l'enchaînement des différences, en obtenant:

{2, 2, 2, …….}

Puisque tous les termes de la séquence se répètent, il est confirmé que S est une séquence quadratique.

iii) La suite S _dif est régulière et son rapport R est 2. En utilisant l'équation ci-dessus R = 2 ∙ A, il reste:

2 = 2 ∙ A, ce qui implique que A = 1.

Le deuxième terme de la suite de différences S _Dif est 4 et le nième terme de S _Dif est

A ∙ (2n + 1) + B.

Le deuxième terme a n = 2. De plus, il a déjà été déterminé que A = 1, donc en utilisant l'équation précédente et en la remplaçant, nous avons:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

En résolvant pour B, nous obtenons: B = -1.

On sait que le second terme de S vaut 2, et qu'il doit remplir la formule du terme général avec n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

C'est-à-dire

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

On en conclut que C = 0, c'est-à-dire que la formule qui donne le terme général de la suite S est:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Maintenant, le cinquième terme est vérifié:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) La figure # 10, qui n'a pas été dessinée ici, aura l'aire correspondant au dixième terme de la séquence S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Références

1. https://www.geogebra.org