SÉRIE POWER: EXEMPLES ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Une série de puissances consiste en une sommation de termes sous forme de puissances de la variable x, ou plus généralement de xc, où c est un nombre réel constant. En notation sommative, une série de puissances est exprimée comme suit:

Où les coefficients a _o, a ₁, a ₂ … sont des nombres réels et la série commence à n = 0.

Figure 1. Définition d'une série de puissance. Source: F. Zapata.

Cette série est centrée sur la valeur c qui est constante, mais vous pouvez choisir que c soit égal à 0, auquel cas la série de puissance se simplifie en:

La série commence par a _ou (xc) ⁰ et a _ou x ⁰ respectivement. Mais nous savons que:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Donc a _o (xc) ⁰ = a _ou x ⁰ = a _o (terme indépendant)

L'avantage des séries de puissance est que les fonctions peuvent être exprimées avec elles et cela présente de nombreux avantages, surtout si vous souhaitez travailler avec une fonction compliquée.

Dans ce cas, au lieu d'utiliser directement la fonction, utilisez son extension en série de puissance, qui peut être plus facile à dériver, à intégrer ou à travailler numériquement.

Bien sûr, tout est conditionné à la convergence des séries. Une série converge lorsque l'ajout d'un certain nombre de termes donne une valeur fixe. Et si nous ajoutons encore plus de termes, nous continuons à obtenir cette valeur.

Fonctionne comme Power Series

Comme exemple de fonction exprimée sous forme de série de puissance, prenons f (x) = e ^x.

Cette fonction peut être exprimée en termes d'une série de puissances comme suit:

et ^x ≈ 1 + x + (x ^deux / 2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ^cinq / 5!) +…

Où! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… et il en faut 0! = 1.

Nous allons vérifier à l'aide d'une calculatrice, qu'effectivement la série coïncide avec la fonction donnée explicitement. Par exemple, commençons par faire x = 0.

Nous savons que e ⁰ = 1. Voyons ce que fait la série:

et ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ^cinq / 5!) +… = 1

Et maintenant, essayons x = 1. Une calculatrice renvoie que e ¹ = 2,71828, puis comparons avec la série:

et ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ^cinq / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Avec seulement 5 termes, nous avons déjà une correspondance exacte dans e ≈ 2,71. Notre série a juste un peu plus à faire, mais à mesure que de nouveaux termes sont ajoutés, la série converge certainement vers la valeur exacte de e. La représentation est exacte lorsque n → ∞.

Si l'analyse précédente est répétée pour n = 2, des résultats très similaires sont obtenus.

De cette façon, nous sommes sûrs que la fonction exponentielle f (x) = e ^x peut être représentée par cette série de puissances:

Figure 2. Dans cette animation, nous pouvons voir comment la série de puissance se rapproche de la fonction exponentielle à mesure que davantage de termes sont pris. Source: Wikimedia Commons.

Série géométrique de puissances

La fonction f (x) = e ^x n'est pas la seule fonction qui prend en charge une représentation en série de puissance. Par exemple, la fonction f (x) = 1/1 - x ressemble beaucoup à la série géométrique convergente bien connue:

Il suffit de faire a = 1 et r = x pour obtenir une série adaptée à cette fonction, qui est centrée sur c = 0:

Cependant, on sait que cette série est convergente pour │r│ <1, donc la représentation n'est valide que dans l'intervalle (-1,1), bien que la fonction soit valide pour tout x, sauf x = 1.

Lorsque vous souhaitez définir cette fonction dans une autre plage, vous vous concentrez simplement sur une valeur appropriée et vous avez terminé.

Comment trouver l'expansion en série des puissances d'une fonction

Toute fonction peut être développée dans une série de puissances centrée sur c, tant qu'elle a des dérivées de tous les ordres à x = c. La procédure utilise le théorème suivant, appelé théorème de Taylor:

Soit f (x) une fonction à dérivées d'ordre n, notée f ⁽ⁿ⁾, qui admet un développement en série de puissances sur l'intervalle I. Son développement en série de Taylor est:

De manière que:

Où R _n, qui est le nième terme de la série, est appelé un reste:

Lorsque c = 0, la série est appelée série Maclaurin.

Cette série donnée ici est identique à la série donnée au début, seulement maintenant nous avons un moyen de trouver explicitement les coefficients de chaque terme, donnés par:

Cependant, il faut s'assurer que la série converge vers la fonction à représenter. Il arrive que toutes les séries de Taylor ne convergent pas nécessairement vers le f (x) qui était envisagé lors du calcul des coefficients en _n.

Cela se produit parce que peut-être les dérivées de la fonction, évaluées à x = c coïncident avec la même valeur des dérivées d'une autre, également à x = c. Dans ce cas, les coefficients seraient les mêmes, mais l'évolution serait ambiguë car on ne sait pas à quelle fonction il correspond.

Heureusement, il existe un moyen de savoir:

Critère de convergence

Pour éviter toute ambiguïté, si R _n → 0 comme n → ∞ pour tout x dans l'intervalle I, la série converge vers f (x).

Exercice

- Exercice résolu 1

Trouvez la série de puissances géométriques pour la fonction f (x) = 1/2 - x centrée sur c = 0.

Solution

La fonction donnée doit être exprimée de telle sorte qu'elle coïncide le plus possible avec 1 / 1- x, dont la série est connue. Réécrivons donc le numérateur et le dénominateur, sans modifier l'expression d'origine:

1/2 - x = (1/2) /

Puisque ½ est constant, il sort de la sommation et s'écrit en fonction de la nouvelle variable x / 2:

Notez que x = 2 n'appartient pas au domaine de la fonction, et selon le critère de convergence donné dans la section Geometric Power Series, le développement est valide pour │x / 2│ <1 ou de manière équivalente -2 <x <2.

- Exercice résolu 2

Trouvez les 5 premiers termes de l'expansion de la série Maclaurin de la fonction f (x) = sin x.

Solution

Étape 1

Premièrement, les dérivés:

-Dérivée d'ordre 0: c'est la même fonction f (x) = sin x

-Première dérivée: (sin x) ´ = cos x

-Dérivée seconde: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Troisième dérivée: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Quatrième dérivée: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Étape 2

Ensuite, chaque dérivée est évaluée à x = c, tout comme une expansion de Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Étape 3

Les coefficients a _{n sont construits};

a _o = 0/0! = 0; un ₁ = 1/1! = 1; un ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; un ₄ = 0/4! = 0

Étape 4

Enfin la série est assemblée selon:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Le lecteur a-t-il besoin de plus de termes? Combien de plus, la série est plus proche de la fonction.

Notez qu'il y a un modèle dans les coefficients, le prochain terme non nul est ₅ et tous ceux avec un indice impair sont également différents de 0, en alternant les signes, de sorte que:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Il est laissé comme exercice pour vérifier qu'il converge, le critère du quotient peut être utilisé pour la convergence des séries.

Références

1. Fondation CK-12. Power Series: représentation des fonctions et opérations. Récupéré de: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Calcul intégral. Université nationale du littoral.
3. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9ème. Édition. McGraw Hill.
4. Textes gratuits de mathématiques. Série de puissance. Récupéré de: math.liibretexts.org.
5. Wikipédia. Série de puissance. Récupéré de: es.wikipedia.org.