LA RÈGLE DE SIMPSON: FORMULE, PREUVE, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

La règle de Simpson est une méthode pour calculer, approximativement, des intégrales définies. Il est basé sur la division de l'intervalle d'intégration en un nombre pair de sous-intervalles également espacés.

Les valeurs extrêmes de deux sous-intervalles consécutifs définissent trois points par lesquels une parabole, dont l'équation est un polynôme du second degré, s'adapte.

Figure 1. Dans la méthode de Simpson, l'intervalle d'intégration est subdivisé en un nombre pair d'intervalles de largeur égale. La fonction est approximée par une parabole tous les 2 sous-intervalles et l'intégrale est approximée par la somme de l'aire sous les paraboles. Source: upv.es.

Ensuite, l'aire sous la courbe de la fonction dans les deux intervalles consécutifs est approximée par l'aire du polynôme d'interpolation. En ajoutant la contribution à l'aire sous la parabole de tous les sous-intervalles successifs, nous avons la valeur approximative de l'intégrale.

D'un autre côté, puisque l'intégrale d'une parabole peut être calculée algébriquement exactement, alors il est possible de trouver une formule analytique pour la valeur approximative de l'intégrale définie. Elle est connue sous le nom de formule Simpson.

L'erreur du résultat approximatif ainsi obtenu diminue à mesure que le nombre de subdivisions n est plus grand (où n est un nombre pair).

Une expression sera donnée ci-dessous qui permet d'estimer la borne supérieure de l'erreur de l'approximation de l'intégrale I, lorsqu'une partition de n sous-intervalles réguliers de l'intervalle total a été faite.

Formule

L'intervalle d'intégration est subdivisé en n sous-intervalles, n étant un entier pair. La largeur de chaque subdivision sera:

h = (b - a) / n

De cette façon, la partition est faite sur l'intervalle:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Où X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

La formule qui permet d'approcher l'intégrale définie I de la fonction continue, et de préférence lisse, dans l'intervalle est:

Manifestation

Pour obtenir la formule de Simpson, dans chaque sous-intervalle, la fonction f (X) est approchée par un polynôme du second degré p (X) (parabole) qui passe par les trois points:; et.

Ensuite, l'intégrale du polynôme p (x) est calculée dans laquelle elle se rapproche de l'intégrale de la fonction f (X) dans cet intervalle.

Figure 2. Graphique illustrant la formule de Simpson. Source: F. Zapata.

Coefficients du polynôme d'interpolation

L'équation de la parabole p (X) a la forme générale: p (X) = AX ² + BX + C.Lorsque la parabole passe par les points Q indiqués en rouge (voir figure), alors les coefficients A, B, C sont déterminées à partir du système d'équations suivant:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

On voit que le coefficient C est déterminé. Pour déterminer le coefficient A, nous ajoutons les première et troisième équations obtenant:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Ensuite, la valeur de C est substituée et A est effacé, laissant:

A = / (2 h ²)

Pour déterminer le coefficient B, la troisième équation est soustraite de la première et B est résolu, obtenant:

B = = 2 h.

En résumé, le polynôme du second degré p (X) qui passe par les points Qi, Qi + 1 et Qi + 2 a des coefficients:

A = / (2 h ²)

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Calcul de l'intégrale approximative dans

Calcul approximatif de l'intégrale dans

Comme déjà mentionné, une partition {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} est faite sur l'intervalle d'intégration total avec le pas h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, où n est un nombre pair.

Erreur d'approximation

Notez que l'erreur diminue avec la quatrième puissance du nombre de subdivisions dans l'intervalle. Par exemple, si vous passez de n subdivisions à 2n, l'erreur diminue d'un facteur 1/16.

La borne supérieure de l'erreur obtenue par l'approximation de Simpson peut être obtenue à partir de cette même formule, en remplaçant la quatrième dérivée par la valeur absolue maximale de la quatrième dérivée dans l'intervalle.

Exemples travaillés

- Exemple 1

Considérons la fonction f (X) = 1 / (1 + X ²).

Trouvez l'intégrale définie de la fonction f (X) sur l'intervalle en utilisant la méthode de Simpson avec deux subdivisions (n ​​= 2).

Solution

On prend n = 2. Les limites d'intégration sont a = -1 et b = -2, donc la partition ressemble à ceci:

X0 = -1; X1 = 0 et X2 = +1.

Par conséquent, la formule de Simpson prend la forme suivante:

Figure 3. Exemple d'intégration numérique par la règle de Simpson à l'aide d'un logiciel. Source: F. Zapata.

Références

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (édition illustrée). Madrid: Éditorial ESIC.
2. UPV. Méthode de Simpson. Université polytechnique de Valence. Récupéré de: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Neuvième édition. Prentice Hall.
4. Wikipédia. La règle de Simpson. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Interpolation polynomiale de Lagrange. Récupéré de: es.wikipedia.com