RÈGLE DE LA MAIN DROITE: PREMIÈRE ET DEUXIÈME RÈGLE, APPLICATIONS, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

La règle de droite est un mnémonique pour établir la direction et le sens du vecteur résultant d'un produit croisé ou d'un produit croisé. Il est largement utilisé en physique, car il existe des quantités vectorielles importantes qui résultent d'un produit vectoriel. Tel est le cas du couple, de la force magnétique, du moment cinétique et du moment magnétique, par exemple.

Figure 1. Règle de droite. Source: Wikimedia Commons. Acdx.

Soit deux vecteurs génériques a et b dont le produit croisé est a x b. Le module d'un tel vecteur est:

a x b = absen α

Où α est l'angle minimum entre a et b, tandis que a et b représentent leurs modules. Pour distinguer les vecteurs de leurs modules, des lettres en gras sont utilisées.

Maintenant, nous devons connaître la direction et le sens de ce vecteur, il est donc pratique d'avoir un système de référence avec les trois directions de l'espace (figure 1 à droite). Les vecteurs unitaires i, j et k pointent respectivement vers le lecteur (hors page), vers la droite et vers le haut.

Dans l'exemple de la figure 1 à gauche, le vecteur a est dirigé vers la gauche (direction y négative et index de la main droite) et le vecteur b va vers le lecteur (direction x positive, majeur droit).

Le vecteur résultant a x b a la direction du pouce, vers le haut dans la direction positive z.

Deuxième règle de la main droite

Cette règle, également appelée règle du pouce droit, est largement utilisée lorsqu'il existe des grandeurs dont la direction et la direction tournent, comme le champ magnétique B produit par un fil mince et rectiligne qui transporte un courant.

Dans ce cas, les lignes de champ magnétique sont des cercles concentriques avec le fil, et le sens de rotation est obtenu avec cette règle de la manière suivante: le pouce droit pointe la direction du courant et les quatre doigts restants se plient dans le sens du Campagne. Nous illustrons le concept dans la figure 2.

Figure 2. Règle du pouce droit pour déterminer la direction de la circulation du champ magnétique. Source: Wikimedia Commons.

Règle alternative de la main droite

La figure suivante montre une autre forme de règle de la main droite. Les vecteurs qui apparaissent dans l'illustration sont:

-La vitesse v d'une charge ponctuelle q.

-Le champ magnétique B dans lequel se déplace la charge.

- F _B la force que le champ magnétique exerce sur la charge.

Figure 3. Règle alternative de la main droite. Source: Wikimedia Commons. Experticuis

L'équation de la force magnétique est F _B = q v x B et la règle de la main droite pour connaître la direction et le sens de F _B est appliquée comme ceci: le pouce pointe selon v, les quatre doigts restants sont placés selon le champ B. Donc F _B est un vecteur qui laisse la paume de la main, perpendiculairement à celle-ci, comme s'il poussait la charge.

Notez que F _B pointerait dans la direction opposée si la charge q était négative, puisque le produit vectoriel n'est pas commutatif. En réalité:

a x b = - b x a

Applications

La règle de la main droite peut être appliquée pour différentes quantités physiques, connaissons-en quelques-unes:

Vitesse angulaire et accélération

La vitesse angulaire ω et l'accélération angulaire α sont des vecteurs. Si un objet tourne autour d'un axe fixe, il est possible d'attribuer la direction et le sens de ces vecteurs en utilisant la règle de la main droite: les quatre doigts sont enroulés après la rotation et le pouce donne immédiatement la direction et le sens de la vitesse angulaire ω.

Pour sa part, l'accélération angulaire α aura la même direction que ω, mais sa direction dépendra du fait que ω augmente ou diminue en grandeur avec le temps. Dans le premier cas, les deux ont la même direction et le même sens, mais dans le second, ils auront des directions opposées.

Figure 4. La règle du pouce droit appliquée à un objet en rotation pour déterminer la direction et le sens de la vitesse angulaire. Source: Serway, R. Physics.

Moment angulaire

Le vecteur moment cinétique L _O d'une particule tournant autour d'un certain axe O est défini comme le produit vectoriel de son vecteur de position instantanée r et du moment linéaire p:

L = r x p

La règle de la main droite s'applique ainsi: l'index est placé dans le même sens et le même sens de r, le majeur dans celui de p, tous deux sur un plan horizontal, comme sur la figure. Le pouce est automatiquement étendu verticalement vers le haut indiquant la direction et le sens du moment cinétique L _O.

Figure 5. Le vecteur moment cinétique. Source: Wikimedia Commons.

Exercices

- Exercice 1

Le sommet de la figure 6 tourne rapidement avec une vitesse angulaire ω et son axe de symétrie tourne plus lentement autour de l'axe vertical z. Ce mouvement s'appelle la précession. Décrivez les forces agissant sur le dessus et l'effet qu'elles produisent.

Figure 6. Toupie. Source: Wikimedia Commons.

Solution

Les forces agissant sur le dessus sont la normale N, appliquée sur le point d'appui avec le sol O plus le poids M g, appliqué au centre de masse CM, avec g le vecteur accélération de la gravité, dirigé verticalement vers le bas (voir figure 7).

Les deux forces s'équilibrent, donc le sommet ne bouge pas. Cependant, le poids produit un couple net ou couple τ par rapport au point O, donné par:

τ _O = r _O x F, avec F = M g.

Puisque r et M g sont toujours dans le même plan que le sommet tourne, selon la règle de la main droite, le couple τ _O est toujours situé dans le plan xy, perpendiculaire à r et g.

Notez que N ne produit pas de couple autour de O, car son vecteur r par rapport à O est nul. Ce couple produit un changement de moment cinétique qui provoque la précession du sommet autour de l'axe Z.

Figure 7. Forces agissant sur le sommet et son vecteur de moment angulaire. Source de la figure de gauche: Serway, R. Physics for Science and Engineering.

- Exercice 2

Indiquez la direction et le sens du vecteur moment cinétique L du sommet de la figure 6.

Solution

Tout point du haut a une masse m _i, une vitesse v _i et un vecteur de position r _i, lorsqu'il tourne autour de l'axe z. Le moment cinétique L _i de ladite particule est:

L _i = r _i x p _i = r _i xm _i v _i

Puisque r _i et v _i sont perpendiculaires, la grandeur de L est:

L _i = m _i r _i v _i

La vitesse linéaire v est liée à celle de la vitesse angulaire ω par:

v _i = r _i ω

Donc:

L _i = m _i r _i (r _i ω) = m _i r _i ² ω

Le moment cinétique total de la toupie L est la somme du moment cinétique de chaque particule:

L = (∑m _i r _i ²) ω

∑ m _i r _i ² est le moment d'inertie I du sommet, alors:

L = je ω

Par conséquent, L et ω ont la même direction et le même sens, comme le montre la figure 7.

Références

1. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. A. Mécanique du génie: statique. Addison Wesley.
3. Kirkpatrick, L. 2007. Physique: un regard sur le monde. 6e édition abrégée. Apprentissage Cengage.
4. Knight, R. 2017. Physique pour les scientifiques et l'ingénierie: une approche stratégique. Pearson.
5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1 et 2. 7e. Ed. Cengage Learning.