QUE SONT LES TRIANGLES OBLIQUES? (AVEC EXERCICES) - MATEMATIQUES - 2025

Les triangles obliques sont ces triangles qui ne sont pas des rectangles. En d'autres termes, les triangles tels qu'aucun de leurs angles ne soit un angle droit (leur mesure est de 90 °).

Puisqu'ils n'ont pas d'angles droits, alors le théorème de Pythagore ne peut pas être appliqué à ces triangles.

Par conséquent, pour connaître les données dans un triangle oblique, il est nécessaire d'utiliser d'autres formules.

Les formules nécessaires pour résoudre un triangle oblique sont les soi-disant lois des sinus et cosinus, qui seront décrites plus loin.

En plus de ces lois, le fait que la somme des angles intérieurs d'un triangle soit égale à 180 ° peut toujours être utilisé.

Triangles obliques

Comme indiqué au début, un triangle oblique est un triangle tel qu'aucun de ses angles ne mesure 90º.

Le problème de trouver les longueurs des côtés d'un triangle oblique, ainsi que de trouver les mesures de ses angles, s'appelle «résoudre des triangles obliques».

Un fait important lorsque l'on travaille avec des triangles est que la somme des trois angles internes d'un triangle est égale à 180 °. C'est un résultat général, donc pour les triangles obliques, il peut également être appliqué.

Lois des sinus et cosinus

Étant donné un triangle ABC avec des côtés de longueur "a", "b" et "c":

- La loi des sinus stipule que a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), où A, B et C sont les angles opposés à «a», «b» et «c "Respectivement.

- La loi des cosinus stipule que: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). De manière équivalente, les formules suivantes peuvent être utilisées:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) ou a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

En utilisant ces formules, les données d'un triangle oblique peuvent être calculées.

Exercices

Voici quelques exercices où les données manquantes des triangles donnés doivent être trouvées, sur la base de certaines données fournies.

Premier exercice

Étant donné un triangle ABC tel que A = 45º, B = 60º et a = 12cm, calculez les autres données du triangle.

Solution

En utilisant que la somme des angles internes d'un triangle est égale à 180 °, nous avons que

C = 180º-45º-60º = 75º.

Les trois angles sont déjà connus. La loi des sinus est ensuite utilisée pour calculer les deux côtés manquants.

Les équations qui surviennent sont 12 / sin (45 °) = b / sin (60 °) = c / sin (75 °).

A partir de la première égalité on peut résoudre «b» et obtenir que

b = 12 * sin (60 °) / sin (45 °) = 6√6 ≈ 14,696 cm.

On peut aussi résoudre pour «c» et obtenir que

c = 12 * sin (75 °) / sin (45 °) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Deuxième exercice

Étant donné le triangle ABC tel que A = 60º, C = 75º et b = 10cm, calculez les autres données du triangle.

Solution

Comme dans l'exercice précédent, B = 180º-60º-75º = 45º. De plus, en utilisant la loi des sinus, nous avons que a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), d’où il est obtenu que a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm et c = 10 * sin (75 °) / sin (45 °) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Troisième exercice

Étant donné le triangle ABC tel que a = 10cm, b = 15cm et C = 80º, calculez les autres données du triangle.

Solution

Dans cet exercice, un seul angle est connu, il ne peut donc pas être démarré comme dans les deux exercices précédents. De plus, la loi des sinus ne peut pas être appliquée car aucune équation n'a pu être résolue.

Par conséquent, nous procédons à l'application de la loi des cosinus. C'est alors que

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm, de sorte que c ≈ 16,51 cm. Maintenant, connaissant les 3 côtés, la loi des sinus est utilisée et on obtient que

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Par conséquent, la résolution de B aboutit à sin (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, ce qui implique que B ≈ 63.38º.

Maintenant, nous pouvons obtenir que A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Quatrième exercice

Les côtés d'un triangle oblique sont a = 5 cm, b = 3 cm et c = 7 cm. Trouvez les angles du triangle.

Solution

Là encore, la loi des sinus ne peut être appliquée directement puisqu'aucune équation ne servirait à obtenir la valeur des angles.

En utilisant la loi des cosinus, nous avons que c² = a² + b² - 2ab cos (C), à partir de laquelle, lors de la résolution, nous avons que cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 et donc C = 120º.

Maintenant, si nous pouvons appliquer la loi des sinus et obtenir ainsi 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º), d'où nous pouvons résoudre pour B et obtenir que sin (B) = 3 * sin (120 °) / 7 = 0,371, de sorte que B = 21,79 °.

Enfin, le dernier angle est calculé en utilisant que A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Références

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