Il est appelé relativement premier (premier ou premier par rapport à l'autre) car toute paire d'entiers n'a pas de diviseur commun autre que 1.
En d'autres termes, deux entiers sont des nombres premiers relatifs si dans leurs décompositions en nombres premiers, ils n'ont aucun facteur en commun.
Par exemple, si 4 et 25 sont choisis, les factorisations premières de chacune sont respectivement 2² et 5². Comme on peut le voir, ceux-ci n'ont pas de facteurs communs, donc 4 et 25 sont des nombres premiers relatifs.
Par contre, si 6 et 24 sont choisis, lors de leurs décompositions en facteurs premiers, on obtient que 6 = 2 * 3 et 24 = 2³ * 3.
Comme vous pouvez le voir, ces deux dernières expressions ont au moins un facteur en commun, ce ne sont donc pas des nombres premiers relatifs.
Cousins relatifs
Un détail avec lequel il faut faire attention est que dire qu'une paire d'entiers sont des nombres premiers relatifs n'implique pas que l'un d'eux est un nombre premier.
En revanche, la définition ci-dessus peut être résumée comme suit: deux entiers "a" et "b" sont des nombres premiers relatifs si, et seulement si, le plus grand commun diviseur de ceux-ci est 1, c'est-à-dire pgcd (a, b) = 1.
Deux conclusions immédiates de cette définition sont les suivantes:
-Si «a» (ou «b») est un nombre premier, alors pgcd (a, b) = 1.
-Si «a» et «b» sont des nombres premiers, alors pgcd (a, b) = 1.
Autrement dit, si au moins un des nombres choisis est un nombre premier, alors directement la paire de nombres est des nombres premiers relatifs.
Autres caractéristiques
Les autres résultats utilisés pour déterminer si deux nombres sont des nombres premiers relatifs sont:
-Si deux entiers sont consécutifs, ce sont des nombres premiers relatifs.
-Deux nombres naturels "a" et "b" sont des nombres premiers relatifs si, et seulement si, les nombres "(2 ^ a) -1" et "(2 ^ b) -1" sont des nombres premiers relatifs.
-Deux entiers «a» et «b» sont des nombres premiers relatifs si, et seulement si, lors de la représentation graphique du point (a, b) dans le plan cartésien, et de la construction de la ligne passant par l'origine (0,0) et (a, b), il ne contient aucun point avec des coordonnées entières.
Exemples
1.- Considérons les nombres entiers 5 et 12. Les décompositions en facteurs premiers des deux nombres sont: 5 et 2² * 3 respectivement. En conclusion, pgcd (5,12) = 1, donc 5 et 12 sont des nombres premiers relatifs.
2.- Soit les nombres -4 et 6. Puis -4 = -2² et 6 = 2 * 3, de sorte que l'écran LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. En conclusion, -4 et 6 ne sont pas des nombres premiers relatifs.
Si nous procédons au graphe de la ligne qui passe par les paires ordonnées (-4,6) et (0,0), et déterminons l'équation de ladite ligne, on peut vérifier qu'elle passe par le point (-2,3).
Là encore, on conclut que -4 et 6 ne sont pas des nombres premiers relatifs.
3.- Les nombres 7 et 44 sont des nombres premiers relatifs et on peut le conclure rapidement grâce à ce qui a été dit plus haut, puisque 7 est un nombre premier.
4.- Considérons les nombres 345 et 346. Étant deux nombres consécutifs, on vérifie que pgcd (345,346) = 1, donc 345 et 346 sont des nombres premiers relatifs.
5.- Si les nombres 147 et 74 sont considérés, alors ce sont des nombres premiers relatifs, puisque 147 = 3 * 7² et 74 = 2 * 37, donc le LCD (147,74) = 1.
6.- Les nombres 4 et 9 sont des nombres premiers relatifs. Pour le démontrer, la deuxième caractérisation mentionnée ci-dessus peut être utilisée. En effet, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 et 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Les nombres obtenus sont 15 et 511. Les factorisations premières de ces nombres sont respectivement 3 * 5 et 7 * 73, de sorte que LCD (15,511) = 1.
Comme vous pouvez le voir, utiliser la deuxième caractérisation est un travail plus long et plus laborieux que de la vérifier directement.
7.- Considérez les nombres -22 et -27. Ensuite, ces nombres peuvent être réécrits comme suit: -22 = -2 * 11 et -27 = -3³. Par conséquent, le pgcd (-22, -27) = 1, donc -22 et -27 sont des nombres premiers relatifs.
Références
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. et Soto, A. (1998). Introduction à la théorie des nombres. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Éléments arithmétiques. Bibliothèque des veuves et des enfants de Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Cours de base de la théorie des nombres. Université du Nord.
- Guevara, MH (nd). L'ensemble des nombres entiers. EUNED.
- Institut supérieur de formation des enseignants (Espagne), JL (2004). Nombres, formes et volumes dans l'environnement de l'enfant. Ministère de l'Éducation.
- Palmer, CI et Bibb, SF (1979). Mathématiques pratiques: arithmétique, algèbre, géométrie, trigonométrie et règle à calcul (réimpression éd.). Reverte.
- Rock, Nouveau-Mexique (2006). L'algèbre I est facile! Si facile. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algèbre. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Mathématiques de base et pré-algèbre (éd illustré). Career Press.
- Toral, C. et Preciado, M. (1985). 2e cours de mathématiques. Éditorial Progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A., et Colorado, H. (2010). Principes de base de l'arithmétique. ELIZCOM SAS