POINTS COPLANAIRES: ÉQUATION, EXEMPLE ET EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

Les points coplanaires appartiennent tous au même plan. Deux points sont toujours coplanaires, puisque ces points définissent une ligne par laquelle passent des plans infinis. Ensuite, les deux points appartiennent à chacun des plans qui traversent la ligne et par conséquent, ils seront toujours coplanaires.

En revanche, trois points définissent un seul plan, d'où il résulte que trois points seront toujours coplanaires au plan qu'ils déterminent.

Figure 1. A, B, C et D sont coplanaires au plan (Ω). E, F et G ne sont pas coplanaires à (Ω) mais coplanaires au plan qu'ils définissent. Source: F. Zapata.

Plus de trois points peuvent être coplanaires ou non. Par exemple sur la figure 1, les points A, B, C et D sont coplanaires au plan (Ω). Mais E, F et G ne sont pas coplanaires à (Ω), bien qu'ils soient coplanaires au plan qu'ils définissent.

Équation d'un plan donné trois points

L'équation d'un plan déterminé par trois points connus A, B, C est une relation mathématique qui garantit que tout point P de coordonnées génériques (x, y, z) qui remplit l'équation appartient audit plan.

L'énoncé précédent équivaut à dire que si P de coordonnées (x, y, z) remplit l'équation du plan, alors ledit point sera coplanaire avec les trois points A, B, C qui ont déterminé le plan.

Pour trouver l'équation de ce plan, commençons par trouver les vecteurs AB et AC:

AB =

AC =

Le produit vectoriel AB X AC donne un vecteur perpendiculaire ou normal au plan déterminé par les points A, B, C.

Tout point P de coordonnées (x, y, z) appartient au plan si le vecteur AP est perpendiculaire au vecteur AB X AC, ce qui est garanti si:

AP • (AB X AC) = 0

Cela revient à dire que le triple produit de AP, AB et AC est nul. L'équation ci-dessus peut être écrite sous forme matricielle:

Exemple

Soit les points A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) et D (a, 0, 1). Quelle valeur doit avoir pour que les quatre points soient coplanaires?

Solution

Pour trouver la valeur de a, le point D doit faire partie du plan déterminé par A, B et C, ce qui est garanti s'il satisfait l'équation du plan.

Développer le déterminant que nous avons:

L'équation précédente nous dit que a = -1 pour l'égalité à remplir. En d'autres termes, la seule façon dont le point D (a, 0,1) est coplanaire avec les points A, B et C est que a soit -1. Sinon, ce ne sera pas coplanaire.

Exercices résolus

- Exercice 1

Un plan coupe les axes cartésiens X, Y, Z en 1, 2 et 3 respectivement. L'intersection de ce plan avec les axes détermine les points A, B et C. Trouvez la composante Dz d'un point D, dont les composantes cartésiennes sont:

À condition que D soit coplanaire avec les points A, B et C.

Solution

Lorsque les intersections d'un plan avec les axes cartésiens sont connues, la forme segmentaire de l'équation du plan peut être utilisée:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Puisque le point D doit appartenir au plan précédent, il doit:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

C'est-à-dire:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

De ce qui précède, il résulte que le point D (3, -2, -3) est coplanaire avec les points A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) et C (0, 0, 3).

- Exercice 2

Déterminez si les points A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) et D (2, 3, 1) sont coplanaires.

Solution

Nous formons la matrice dont les lignes sont les coordonnées de DA, BA et CA. Ensuite, le déterminant est calculé et il est vérifié s'il est égal ou non à zéro.

Après avoir effectué tous les calculs, on conclut qu'ils sont coplanaires.

- Exercice 3

Il y a deux lignes dans l'espace. L'un d'eux est la droite (R) dont l'équation paramétrique est:

Et l'autre est la droite (S) dont l'équation est:

Montrez que (R) et (S) sont des lignes coplanaires, c'est-à-dire qu'elles se trouvent dans le même plan.

Solution

Commençons par prendre arbitrairement deux points sur la ligne (R) et deux sur la ligne (S):

Ligne (R): λ = 0; A (1, 1, 1) et λ = 1; B (3, 0, 1)

Soit x = 0 sur la droite (S) => y = ½; C (0, 1/2, -1). Et d'autre part, si nous faisons y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Autrement dit, nous avons pris les points A et B qui appartiennent à la ligne (R) et les points C et D qui appartiennent à la ligne (S). Si ces points sont coplanaires, les deux lignes le seront également.

Maintenant nous choisissons le point A comme pivot puis nous trouvons les coordonnées des vecteurs AB, AC et AD. De cette façon, vous obtenez:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1-1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

L'étape suivante consiste à construire et calculer le déterminant dont la première ligne sont les coefficients du vecteur AB, la deuxième ligne sont ceux de AC et la troisième ligne ceux du vecteur AD:

Puisque le déterminant s'avère nul, alors nous pouvons conclure que les quatre points sont coplanaires. De plus, on peut dire que les lignes (R) et (S) sont également coplanaires.

- Exercice 4

Les droites (R) et (S) sont coplanaires, comme illustré dans l'exercice 3. Trouvez l'équation du plan qui les contient.

Solution

Les points A, B, C définissent complètement ce plan, mais nous voulons imposer que tout point X de coordonnées (x, y, z) lui appartienne.

Pour que X appartienne au plan défini par A, B, C et dans lequel sont contenues les lignes (R) et (S), il faut que le déterminant formé dans sa première ligne par les composantes de AX, dans la deuxième ligne par ceux d' AB et dans le troisième par ceux d' AC:

Suite à ce résultat, nous regroupons de cette manière:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Et immédiatement vous voyez qu'il peut être réécrit comme ceci:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Donc x + 2y - z = 2 est l'équation du plan qui contient les droites (R) et (S).

Références

1. Fleming, W. 1989. Mathématiques précalculeuses. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Algèbre linéaire. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Géométrie analytique plate. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vecteurs. Récupéré de: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Pré-calcul. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Concepts de base de la géométrie. Rowman et Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.