VERROUILLER LA PROPRIÉTÉ DE L'ALGÈBRE: PREUVE, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

La propriété lock de l'algèbre est un phénomène qui met en relation deux éléments d'un ensemble avec une opération, la condition nécessaire étant qu'après le traitement des 2 éléments sous ladite opération, le résultat appartienne également à l'ensemble initial.

Par exemple, si nous prenons les nombres pairs comme un ensemble et une somme comme une opération, nous obtenons un verrou de cet ensemble par rapport à la somme. En effet, la somme de 2 nombres pairs produira toujours un autre nombre pair, remplissant ainsi la condition de verrouillage.

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caractéristiques

Il existe de nombreuses propriétés qui déterminent les espaces ou les corps algébriques, tels que les structures ou les anneaux. Cependant, la propriété lock est l'une des plus connues de l'algèbre de base.

Toutes les applications de ces propriétés ne sont pas basées sur des éléments ou des phénomènes numériques. De nombreux exemples quotidiens peuvent être travaillés à partir d'une approche théorique algébrique pure.

Un exemple peut être les citoyens d'un pays qui assument une relation juridique de quelque nature que ce soit, comme un partenariat commercial ou un mariage entre autres. Après cette opération ou gestion, ils restent citoyens du pays. De cette manière, les opérations de citoyenneté et de gestion à l'égard de deux citoyens représentent un verrou.

Algèbre numérique

En ce qui concerne les nombres, de nombreux aspects ont fait l'objet d'études dans différents courants de mathématiques et d'algèbre. Un grand nombre d'axiomes et de théorèmes ont émergé de ces études qui servent de base théorique à la recherche et aux travaux contemporains.

Si nous travaillons avec les ensembles numériques, nous pouvons établir une autre définition valide pour la propriété lock. Un ensemble A est dit être le verrou d'un autre ensemble B si A est le plus petit ensemble contenant tous les ensembles et opérations que B contient.

Manifestation

La preuve de verrouillage est appliquée pour les éléments et les opérations présents dans l'ensemble des nombres réels R.

Soit A et B deux nombres appartenant à l'ensemble R, la fermeture de ces éléments est définie pour chaque opération contenue dans R.

Somme

- Somme: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

C'est la manière algébrique de dire que pour tous les A et B qui appartiennent aux nombres réels, nous avons que la somme de A plus B est égale à C, qui appartient aussi aux réels.

Il est facile de vérifier si cette proposition est vraie; il suffit d'effectuer la somme entre n'importe quel nombre réel et de vérifier si le résultat appartient également aux nombres réels.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

On observe que la condition de verrouillage est remplie pour les nombres réels et la somme. De cette façon, on peut conclure: La somme des nombres réels est un verrou algébrique.

Multiplication

- Multiplication: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Pour tous les A et B qui appartiennent aux réels, nous avons que la multiplication de A par B est égale à C, qui appartient également aux réels.

Lors de la vérification avec les mêmes éléments de l'exemple précédent, les résultats suivants sont observés.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

C'est une preuve suffisante pour conclure que: La multiplication des nombres réels est un verrou algébrique.

Cette définition peut être étendue à toutes les opérations de nombres réels, même si nous trouverons certaines exceptions.

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Cas particuliers en R

Division

Le premier cas spécial est la division, où l'exception suivante est observée:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Pour tous les A et B qui appartiennent à R, nous avons que A parmi B n'appartient pas aux réels si et seulement si B est égal à zéro.

Ce cas fait référence à la restriction de ne pas pouvoir diviser par zéro. Parce que zéro appartient aux nombres réels, alors il s'ensuit que: la division n'est pas un verrou sur les réels.

Dépôt

Il existe également des opérations de potentialisation, plus précisément celles de radicalisation, où des exceptions sont présentées pour des puissances radicales d'indice pair:

Pour tout A qui appartient aux réels, la nième racine de A appartient aux réels, si et seulement si A appartient aux réels positifs joints à un ensemble dont le seul élément est zéro.

De cette manière, on note que les racines paires ne s'appliquent qu'aux réels positifs et on en conclut que la potentialisation n'est pas un verrou dans R.

Logarithme

De manière homologue, on peut le voir pour la fonction logarithmique, qui n'est pas définie pour des valeurs inférieures ou égales à zéro. Pour vérifier si le logarithme est un verrou de R, procédez comme suit:

Pour tout A qui appartient aux réels, le logarithme de A appartient aux réels, si et seulement si A appartient aux réels positifs.

En excluant les valeurs négatives et zéro qui appartiennent également à R, on peut affirmer que:

Le logarithme n'est pas un verrou des nombres réels.

Exemples

Vérifiez la serrure pour l'addition et la soustraction des nombres naturels:

Somme en N

La première chose à faire est de vérifier la condition de verrouillage pour différents éléments de l'ensemble donné, où si l'on observe qu'un élément rompt avec la condition, l'existence d'un verrou peut être automatiquement refusée.

Cette propriété est vraie pour toutes les valeurs possibles de A et B, comme indiqué dans les opérations suivantes:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1 000 + 10 000 = 11 000 ∈ N

Il n'y a pas de valeurs naturelles qui cassent la condition de verrouillage, donc il est conclu:

La somme est un verrou dans N.

Soustraire en N

Des éléments naturels capables de briser la condition sont recherchés; A - B appartient aux indigènes.

En fonctionnement, il est facile de trouver des paires d'éléments naturels qui ne remplissent pas la condition de verrouillage. Comme par exemple:

7 - 10 = -3 ∉ a N

De cette façon, nous pouvons conclure que:

La soustraction n'est pas un verrou sur l'ensemble des nombres naturels.

Exercices proposés

1-Montrer si la propriété de verrouillage est remplie pour l'ensemble des nombres rationnels Q, pour les opérations addition, soustraction, multiplication et division.

2-Expliquez si l'ensemble des nombres réels est un verrou de l'ensemble des nombres entiers.

3-Déterminez quel ensemble numérique peut être le verrou des nombres réels.

4-Prouver la propriété du verrou pour l'ensemble des nombres imaginaires, en ce qui concerne l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Références

1. Panorama des mathématiques pures: le choix bourbakiste. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Théorie algébrique des nombres. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Université nationale autonome du Mexique, 1975.
3. Algèbre linéaire et ses applications. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Structures algébriques V: théorie du corps. Hector A. Merklen. Organisation des États américains, Secrétariat général, 1979.
5. Introduction à l'algèbre commutative. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.