PRINCIPE D'ARCHIMÈDE: FORMULE, PREUVE, APPLICATIONS - PHYSIQUE - 2025

Le principe d'Archimède stipule qu'un corps immergé en tout ou en partie reçoit une force verticale ascendante appelée poussée, qui équivaut au poids du volume de liquide déplacé par le corps.

Certains objets flottent dans l'eau, certains coulent et certains submergent partiellement. Pour couler un ballon de plage, il faut faire un effort, car immédiatement cette force est perçue qui tente de le ramener à la surface. Au lieu de cela, une sphère métallique coule rapidement.

Figure 1. Ballons flottants: le principe d'Archimède en action. Source: Pixabay.

En revanche, les objets immergés semblent plus légers, il y a donc une force exercée par le fluide qui s'oppose au poids. Mais il ne peut pas toujours compenser complètement la gravité. Et, bien que cela soit plus évident avec l'eau, les gaz sont également capables de produire cette force sur les objets immergés en eux.

L'histoire

Archimède de Syracuse (287-212 av.J.-C.) est celui qui a dû découvrir ce principe, étant l'un des plus grands scientifiques de l'histoire. Ils disent que le roi Hiéron II de Syracuse a ordonné à un orfèvre de lui faire une nouvelle couronne, pour laquelle il lui a donné une certaine quantité d'or.

Archimède

Lorsque le roi a reçu la nouvelle couronne, c'était le poids correct, mais il soupçonnait que l'orfèvre l'avait trompé en ajoutant de l'argent au lieu d'or. Comment le prouver sans détruire la couronne?

Hiéro appela Archimède, dont la réputation d'érudit était bien connue, pour l'aider à résoudre le problème. La légende raconte qu'Archimède a été submergé dans la baignoire lorsqu'il a trouvé la réponse et, telle était son émotion, qu'il a couru nu dans les rues de Syracuse à la recherche du roi en criant «eureka», ce qui signifie «je l'ai trouvé».

Qu'a trouvé Archimède? Eh bien, en prenant un bain, le niveau d'eau dans la baignoire a augmenté lorsqu'il est entré, ce qui signifie qu'un corps immergé déplace un certain volume de liquide.

Et s'il plongeait la couronne dans l'eau, cela devait également déplacer un certain volume d'eau si la couronne était en or et une autre si elle était en alliage avec de l'argent.

Formule

La force de levage désignée par le principe d'Archimède est connue sous le nom de poussée hydrostatique ou force de flottabilité et, comme nous l'avons dit, elle est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps lorsqu'il est submergé.

Le volume déplacé est égal au volume de l'objet immergé, totalement ou partiellement. Puisque le poids de quelque chose est mg et que la masse du fluide est la densité x le volume, désignant l'amplitude de la poussée par B, nous avons mathématiquement:

B = m _fluide xg = densité du fluide x volume immergé x gravité

B = ρ _fluide x V _immergé xg

Où la lettre grecque ρ ("rho") désigne la densité.

Poids apparent

Le poids des objets est calculé en utilisant l'expression familière mg, mais les choses semblent plus légères lorsqu'elles sont immergées dans l'eau.

Le poids apparent d'un objet est ce qu'il a lorsqu'il est immergé dans l'eau ou un autre liquide et le sachant, le volume d'un objet irrégulier tel que la couronne du roi Hiéro peut être obtenu, comme on le verra plus loin.

Pour ce faire, il est complètement immergé dans l'eau et attaché à une corde attachée à un dynamomètre - un instrument équipé d'un ressort utilisé pour mesurer les forces. Plus le poids de l'objet est élevé, plus l'allongement du ressort est important, qui est mesuré sur une échelle fournie dans l'appareil.

Figure 2. Poids apparent d'un objet immergé. Source: préparé par F. Zapata.

Appliquer la deuxième loi de Newton sachant que l'objet est au repos:

ΣF _y = B + T - W = 0

Le poids apparent W _a est égal à la tension de la corde T:

Puisque la poussée compense le poids, puisque la partie fluide est au repos, alors:

De cette expression il résulte que la poussée est due à la différence de pression entre la face supérieure du cylindre et la face inférieure. Puisque W = mg = ρ fluide. V. g, il doit:

C'est précisément l'expression de la poussée mentionnée dans la section précédente.

Applications

Le principe d'Archimède apparaît dans de nombreuses applications pratiques, parmi lesquelles on peut citer:

- Le ballon aérostatique. Qui, en raison de sa densité moyenne inférieure à celle de l'air ambiant, y flotte en raison de la force de poussée.

- Les bateaûx. La coque des navires est plus lourde que l'eau. Mais si l'on considère l'ensemble de la coque plus l'air à l'intérieur, le rapport entre la masse totale et le volume est inférieur à celui de l'eau et c'est la raison pour laquelle les navires flottent.

- Gilets de sauvetage. Etant construits avec des matériaux légers et poreux, ils sont capables de flotter car le rapport masse-volume est inférieur à celui de l'eau.

- Le flotteur pour fermer le robinet de remplissage d'un réservoir d'eau. C'est une sphère remplie d'air de grand volume qui flotte au-dessus de l'eau, ce qui fait que la force de poussée - multipliée par l'effet de levier - ferme le bouchon du robinet de remplissage d'un réservoir d'eau lorsqu'il a atteint le niveau. total.

Exemples

Exemple 1

La légende raconte que le roi Hiéron a donné à l'orfèvre une certaine quantité d'or pour faire une couronne, mais le monarque méfiant pensait que l'orfèvre aurait pu tricher en plaçant un métal moins précieux que l'or à l'intérieur de la couronne. Mais comment pourrait-il savoir sans détruire la couronne?

Le roi confia le problème à Archimède et celui-ci, cherchant la solution, découvrit son célèbre principe.

Supposons que la couronne pèse 2,10 kg-f dans l'air et 1,95 kg-f lorsqu'elle est complètement immergée dans l'eau. Dans ce cas, y a-t-il ou n'y a-t-il pas de tromperie?

Figure 5. Diagramme du corps libre de la couronne du roi héron. Source: préparé par F.Zapata

Le diagramme des forces est illustré dans la figure ci-dessus. Ces forces sont: le poids P de la couronne, la poussée E et la tension T de la corde suspendue à la balance.

Il est connu P = 2,10 kg-f et T = 1,95 kg-f, il reste à déterminer l'amplitude de la poussée E:

Par contre, selon le principe d'Archimède, la poussée E équivaut au poids de l'eau déplacé de l'espace occupé par la couronne, c'est-à-dire la densité de l'eau multipliée par le volume de la couronne dû à l'accélération de la pesanteur:

D'où le volume de la couronne peut être calculé:

La densité de la couronne est le quotient entre la masse de la couronne hors de l'eau et son volume:

La densité de l'or pur peut être déterminée par une procédure similaire et le résultat est de 19300 kg / m ^ 3.

En comparant les deux densités, il est évident que la couronne n'est pas de l'or pur!

Exemple 2

Sur la base des données et du résultat de l'exemple 1, il est possible de déterminer la quantité d'or volée par l'orfèvre dans le cas où une partie de l'or a été remplacée par de l'argent, qui a une densité de 10500 kg / m ^ 3.

Nous appellerons la densité de la couronne ρc, ρo la densité de l'or et ρ _p la densité de l'argent.

La masse totale de la couronne est:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Le volume total de la couronne est le volume d'argent plus le volume d'or:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

La substitution dans l'équation de la masse est:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

Autrement dit, le volume d'or Vo qui contient la couronne du volume total V est:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

Pour trouver le poids en or que contient la couronne, on multiplie Vo par la densité de l'or:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

La masse de la couronne étant de 2,10 kg, on sait que 0,94858 kg d'or a été volé par l'orfèvre et remplacé par de l'argent.

Exercices résolus

Exercice 1

Un énorme ballon à l'hélium est capable de maintenir une personne en équilibre (sans monter ni descendre).

Supposons que le poids de la personne, plus le panier, les cordes et le ballon, est de 70 kg. Quel est le volume d'hélium requis pour que cela se produise? Quelle doit être la taille du ballon?

Solution

On supposera que la poussée est produite principalement par le volume d'hélium et que la poussée du reste des composants est très faible par rapport à celle de l'hélium qui occupe beaucoup plus de volume.

Dans ce cas, il faudra un volume d'hélium capable de fournir une poussée de 70 kg + le poids de l'hélium.

Figure 6. Diagramme du corps libre du ballon rempli d'hélium. Source: préparé par F. Zapata.

La poussée est le produit du volume d'hélium par la densité de l'hélium et l'accélération de la gravité. Cette poussée doit compenser le poids de l'hélium plus le poids de tout le reste.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

d'où l'on conclut que V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

C'est-à-dire qu'il faut 65,4 m ^ 3 d'hélium à la pression atmosphérique pour qu'il y ait soulèvement.

Si nous supposons un globe sphérique, nous pouvons trouver son rayon à partir de la relation entre le volume et le rayon d'une sphère:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

D'où R = 2,49 m. En d'autres termes, il faudra un ballon de 5 m de diamètre rempli d'hélium.

Exercice 2

Des matériaux de densité inférieure à celle de l'eau y flottent. Supposons que vous ayez du polystyrène (liège blanc), du bois et des glaçons. Leurs densités en kg par mètre cube sont respectivement: 20, 450 et 915.

Trouvez quelle fraction du volume total se trouve à l'extérieur de l'eau et à quelle hauteur elle se situe au-dessus de la surface de l'eau en prenant 1000 kilogrammes par mètre cube comme densité de cette dernière.

Solution

La flottabilité se produit lorsque le poids du corps est égal à la poussée due à l'eau:

E = M⋅g

Figure 7. Diagramme de corps libre d'un objet partiellement submergé. Source: préparé par F. Zapata.

Le poids est la densité du corps Dc multipliée par son volume V et par l'accélération de la pesanteur g.

La poussée est le poids du fluide déplacé selon le principe d'Archimède et se calcule en multipliant la densité D de l'eau par le volume immergé V 'et par l'accélération de la pesanteur.

C'est:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Ce qui signifie que la fraction volumique immergée est égale au quotient entre la densité du corps et la densité de l'eau.

Autrement dit, la fraction volumique exceptionnelle (V '' / V) est

Si h est la hauteur du surplomb et L le côté du cube, la fraction volumique peut être écrite comme

Ainsi, les résultats pour les matériaux commandés sont:

Polystyrène (liège blanc):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% hors de l'eau

Bois:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% hors de l'eau

Glace:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% hors de l'eau

Références

1. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Mécanique des fluides. Fondamentaux et applications. Première édition. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 4. Fluides et thermodynamique. Edité par Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mécanique des fluides et hydraulique. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Physique: concepts et applications. 7e édition. McGraw Hill.