PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE: DÉFINITION, PROPRIÉTÉS ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Un paraboloïde hyperbolique est une surface dont l'équation générale en coordonnées cartésiennes (x, y, z) satisfait l'équation suivante:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Le nom "paraboloïde" vient du fait que la variable z dépend des carrés des variables x et y. Alors que l'adjectif «hyperbolique» est dû au fait qu'à des valeurs fixes de z nous avons l'équation d'une hyperbole. La forme de cette surface est similaire à celle d'une selle de cheval.

Figure 1. Paraboloïde hyperbolique z = x ² - y ². Source: F. Zapata utilisant Wolfram Mathematica.

Description du paraboloïde hyperbolique

Pour comprendre la nature du paraboloïde hyperbolique, l'analyse suivante sera faite:

1.- Nous prendrons le cas particulier a = 1, b = 1, c'est-à-dire que l'équation cartésienne du paraboloïde reste comme z = x ² - y ².

2.- Les plans sont considérés comme parallèles au plan ZX, c'est-à-dire y = ctte.

3.- Avec y = ctte il reste z = x ² - C, qui représentent des paraboles avec les branches vers le haut et le sommet sous le plan XY.

Figure 2. Famille de courbes z = x ² - C. Source: F. Zapata utilisant Geogebra.

4.- Avec x = ctte il reste z = C - y ², qui représentent des paraboles avec les branches vers le bas et le sommet au-dessus du plan XY.

Figure 3. Famille de courbes z = C - y ². Source: F. Zapata via Geogebra.

5.- Avec z = ctte il reste C = x ² - y ², qui représentent des hyperboles dans des plans parallèles au plan XY. Lorsque C = 0, deux lignes (à + 45 ° et -45 ° par rapport à l'axe X) se croisent à l'origine sur le plan XY.

Figure 4. Famille de courbes x ² - y ² = C. Source: F. Zapata utilisant Geogebra..

Propriétés du paraboloïde hyperbolique

1.- Quatre points différents dans l'espace tridimensionnel définissent un et un seul paraboloïde hyperbolique.

2.- Le paraboloïde hyperbolique est une surface à double règle. Cela signifie que bien qu'il s'agisse d'une surface courbe, deux lignes différentes passent par chaque point d'un paraboloïde hyperbolique qui appartiennent totalement au paraboloïde hyperbolique. L'autre surface qui n'est pas un plan et qui est doublement gouvernée est l'hyperboloïde de révolution.

C'est précisément la deuxième propriété du paraboloïde hyperbolique qui a permis sa large utilisation en architecture puisque la surface peut être générée à partir de poutres droites ou de cordes.

La deuxième propriété du paraboloïde hyperbolique permet une définition alternative de celui-ci: c'est la surface qui peut être générée par une droite mobile parallèle à un plan fixe et coupe deux lignes fixes qui servent de guide. La figure suivante clarifie cette définition alternative du paraboloïde hyperbolique:

Figure 5. Le paraboloïde hyperbolique est une surface à double règle. Source: F. Zapata.

Exemples travaillés

- Exemple 1

Montrer que l'équation: z = xy, correspond à un paraboloïde hyperbolique.

Solution

Une transformation sera appliquée aux variables x et y correspondant à une rotation des axes cartésiens par rapport à l'axe Z de + 45º. Les anciennes coordonnées x et y sont transformées en les nouveaux x 'et y' selon les relations suivantes:

x = x '- y'

y = x '+ y'

tandis que la coordonnée z reste la même, c'est-à-dire z = z '.

En substituant dans l'équation z = xy on a:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

En appliquant le produit notable de la différence par la somme égale à la différence des carrés, on a:

z '= x' ² - y ' ²

ce qui correspond clairement à la définition initialement donnée du paraboloïde hyperbolique.

L'interception des plans parallèles à l'axe XY avec le paraboloïde hyperbolique z = xy détermine les hyperboles équilatérales qui ont pour asymptotes les plans x = 0 et y = 0.

- Exemple 2

Déterminer les paramètres a et b du paraboloïde hyperbolique qui passe par les points A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) et D (2, -1, 32/9).

Solution

Selon ses propriétés, quatre points dans l'espace tridimensionnel déterminent un seul paraboloïde hyperbolique. L'équation générale est:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Nous substituons les valeurs données:

Pour le point A on a 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², une équation qui est satisfaite quelles que soient les valeurs des paramètres a et b.

En substituant le point B, on obtient:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Alors que pour le point C il reste:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Enfin, pour le point D on obtient:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Ce qui est identique à l'équation précédente. En fin de compte, le système d'équations doit être résolu:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Soustraire la deuxième équation de la première donne:

27/9 = 3 / a ² ce qui implique que a ² = 1.

De la même manière, la deuxième équation est soustraite du quadruple de la première, obtenant:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Ce qui est simplifié comme:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

En bref, le paraboloïde hyperbolique qui passe par les points A, B, C et D donnés a une équation cartésienne donnée par:

z = x ² - (4/9) y ²

- Exemple 3

Selon les propriétés du paraboloïde hyperbolique, deux lignes passent par chaque point qui y sont complètement contenus. Pour le cas z = x ^ 2 - y ^ 2 trouver l'équation des deux droites passant par le point P (0, 1, -1) appartenant clairement au paraboloïde hyperbolique, de telle sorte que tous les points de ces droites appartiennent également au même.

Solution

En utilisant le produit remarquable de la différence des carrés, l'équation du paraboloïde hyperbolique peut s'écrire comme ceci:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Où c est une constante non nulle.

L'équation x + y = cz et l'équation x - y = 1 / c correspondent à deux plans avec des vecteurs normaux n = <1,1, -c> et m = <1, -1,0>. Le produit vectoriel mxn = <- c, -c, -2> nous donne la direction de la ligne d'intersection des deux plans. Alors l'une des droites qui passe par le point P et appartient au paraboloïde hyperbolique a une équation paramétrique:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Pour déterminer c, nous substituons le point P dans l'équation x + y = cz, obtenant:

c = -1

De la même manière, mais en considérant les équations (x - y = kz) et (x + y = 1 / k), nous avons l'équation paramétrique de la droite:

= <0, 1, -1> + s avec k = 1.

En résumé, les deux lignes:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> et = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Ils sont complètement contenus dans le paraboloïde hyperbolique z = x ² - y ² passant par le point (0, 1, -1).

Pour vérifier, supposons t = 1 ce qui nous donne le point (1,2, -3) sur la première ligne. Il faut vérifier s'il est également sur le paraboloïde z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Ce qui confirme qu'il appartient bien à la surface du paraboloïde hyperbolique.

Le paraboloïde hyperbolique en architecture

Figure 6. Océanographique de Valence (Espagne) Source: Wikimedia Commons.

Le paraboloïde hyperbolique a été utilisé en architecture par les grands architectes d'avant-garde, parmi lesquels se détachent les noms de l'architecte espagnol Antoni Gaudí (1852-1926) et tout particulièrement de l'Espagnol Félix Candela (1910-1997).

Voici quelques travaux basés sur le paraboloïde hyperbolique:

-Chapelle de la ville de Cuernavaca (Mexique) oeuvre de l'architecte Félix Candela.

-L'océanographique de Valence (Espagne), également par Félix Candela.

Références

1. Encyclopédie des mathématiques. Surface réglée. Récupéré de: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Paraboloïde hyperbolique. Récupéré de: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. «Paraboloïde hyperbolique». De MathWorld - Une ressource Web Wolfram. Récupéré de: mathworld.wolfram.com
4. Wikipédia. Paraboloïde. Récupéré de: en.wikipedia.com
5. Wikipédia. Paraboloïde. Récupéré de: es.wikipedia.com
6. Wikipédia. Surface dirigée. Récupéré de: en.wikipedia.com