ORTHOÈDRE: FORMULES, AIRE, VOLUME, DIAGONALE, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

L' orthoèdre est une figure géométrique volumétrique ou tridimensionnelle qui se caractérise par avoir six faces rectangulaires, de sorte que les faces opposées sont dans des plans parallèles et sont des rectangles identiques ou congruents. En revanche, les faces adjacentes à une face donnée sont dans des plans perpendiculaires à celui de la face initiale.

L'orthoèdre peut également être considéré comme un prisme orthogonal à base rectangulaire, dans lequel les angles dièdres formés par les plans de deux faces adjacentes à une arête commune mesurent 90º. L'angle dièdre entre deux faces est mesuré à l'intersection des faces avec un plan perpendiculaire qui leur est commun.

Figure 1. Orthoèdre. Source: F. Zapata avec Geogebra.

De même, l'ortoèdre est un parallélépipède rectangle, puisque c'est ainsi que le parallélépipède est défini comme la figure volumétrique de six faces, parallèles deux à deux.

Dans tout parallélépipède, les faces sont des parallélogrammes, mais dans le parallélépipède droit, les faces doivent être rectangulaires.

Parties de l'ortoèdre

Les parties d'un polyèdre, comme l'orthoèdre, sont:

-Aristas

-Vertices

-Visages

L'angle entre deux bords d'une face de l'orthoèdre coïncide avec l'angle dièdre formé par ses deux autres faces adjacentes à chacun des bords, formant un angle droit. L'image suivante clarifie chaque concept:

Figure 2. Parties d'un ortoèdre. Source: F. Zapata avec Geogebra.

-Au total, un ortoèdre a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.

-L'angle entre deux bords est un angle droit.

-L'angle dièdre entre deux faces est également correct.

-Dans chaque face, il y a quatre sommets et à chaque sommet, il y a trois faces mutuellement orthogonales.

Formules orthoèdres

Zone

La surface ou l'aire d'un ortoèdre est la somme des aires de ses faces.

Si les trois arêtes qui se rencontrent à un sommet ont des mesures a, b et c, comme le montre la figure 3, alors la face avant a une aire c⋅b et la face inférieure a également une aire c⋅b.

Ensuite, les deux faces latérales ont une aire a⋅b chacune. Et enfin, les faces du sol et du plafond ont une superficie chacune.

Figure 3. Orthoèdre de dimensions a, b, c. Diagonale interne D et diagonale externe d.

L'ajout de l'aire de toutes les faces donne:

Prendre un facteur commun et ordonner les termes:

Le volume

Si l'ortoèdre est considéré comme un prisme, alors son volume est calculé comme ceci:

Dans ce cas, le plancher de dimensions c et a est pris comme base rectangulaire, donc l'aire de la base est c⋅a.

La hauteur est donnée par la longueur b des arêtes orthogonales aux faces des côtés a et c.

En multipliant l'aire de la base (a⋅c) par la hauteur b donne le volume V de l'ortoèdre:

Diagonale interne

Dans un orthoèdre, il existe deux types de diagonales: les diagonales extérieures et les diagonales intérieures.

Les diagonales externes sont sur les faces rectangulaires, tandis que les diagonales internes sont les segments qui joignent deux sommets opposés, étant compris par des sommets opposés ceux qui ne partagent aucune arête.

Dans un orthoèdre, il y a quatre diagonales internes, toutes de même mesure. La longueur des diagonales internes peut être obtenue en appliquant le théorème de Pythagore pour les triangles rectangles.

La longueur d de la diagonale externe de la face au sol de l'ortoèdre remplit la relation de Pythagore:

d ² = un ² + c ²

De même, la diagonale intérieure de la mesure D remplit la relation de Pythagore:

D ² = d ² + b ².

En combinant les deux expressions précédentes, nous avons:

D ² = a ² + c ² + b ².

Enfin, la longueur de l'une quelconque des diagonales internes de l'orthoèdre est donnée par la formule suivante:

D = √ (a ² + b ² + c ²).

Exemples

- Exemple 1

Un maçon construit une cuve en forme d'ortoèdre dont les dimensions intérieures sont: 6 mx 4 m de base et 2 m de hauteur. On demande:

a) Déterminez la surface intérieure du réservoir s'il est complètement ouvert en haut.

b) Calculez le volume de l'espace intérieur du réservoir.

c) Trouvez la longueur d'une diagonale intérieure.

d) Quelle est la capacité du réservoir en litres?

Solution pour

Nous prendrons les dimensions de la base rectangulaire a = 4 m et c = 6 m et la hauteur comme b = 2 m

L'aire d'un ortoèdre avec les dimensions données est donnée par la relation suivante:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

C'est-à-dire:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ²) = 2⋅ (44 m ²) = 88 m ²

Le résultat précédent est la surface de l'orthoèdre fermé avec les dimensions données, mais comme il s'agit d'un réservoir complètement découvert dans sa partie supérieure, pour obtenir la surface des parois internes du réservoir, la surface du couvercle manquant doit être soustraite, ce qui est:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ².

Enfin, la surface intérieure du réservoir sera: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ².

Solution b

Le volume intérieur du réservoir est donné par le volume d'un orthoèdre des dimensions intérieures du réservoir:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³.

Solution c

La diagonale intérieure d'un octaèdre avec les dimensions de l'intérieur du réservoir a une longueur D donnée par:

√ (a ² + b ² + c ²) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ²)

Réaliser les opérations indiquées nous avons:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ²) = √ (56 m ²) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Solution d

Pour calculer la capacité du réservoir en litres, il faut savoir que le volume d'un décimètre cube est égal à la capacité d'un litre. Il était auparavant calculé en volume en mètres cubes, mais il faut le transformer en décimètres cubes puis en litres:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4 800 dm ³ = 4 800 L

- Exercice 2

Un aquarium en verre a une forme cubique avec un côté de 25 cm. Déterminez la surface en m ², le volume en litres et la longueur d'une diagonale intérieure en cm.

Figure 4. Aquarium en verre de forme cubique.

Solution

L'aire est calculée en utilisant la même formule orthoèdre, mais en tenant compte du fait que toutes les dimensions sont identiques:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1250 cm ²

Le volume du cube est donné par:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

La longueur D de la diagonale intérieure est:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Références

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Récupéré de: youtube.com.
2. Calcul.cc. Exercices et problèmes résolus de surfaces et de volumes. Récupéré de: calculo.cc.
3. Salvador R. Pyramide + orthoèdre avec GEOGEBRA (IHM). Récupéré de: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthoèdre". MathWorld. Recherche Wolfram.
5. Wikipédia. Orthoèdre Récupéré de: es.wikipedia.com