ONDE SINUSOÏDALE: CARACTÉRISTIQUES, PIÈCES, CALCUL, EXEMPLES - PHYSIQUE - 2025

Les ondes sinusoïdales sont des modèles d'ondes qui peuvent être décrits mathématiquement par les fonctions sinus et cosinus. Ils décrivent avec précision les événements naturels et les signaux variant dans le temps, tels que les tensions générées par les centrales électriques puis utilisées dans les maisons, les industries et les rues.

Les éléments électriques tels que les résistances, les condensateurs et les inductances, qui sont connectés à des entrées de tension sinusoïdales, produisent des réponses sinusoïdales. Les mathématiques utilisées dans sa description sont relativement simples et ont été minutieusement étudiées.

Figure 1. Une onde sinusoïdale avec certaines de ses principales caractéristiques spatiales: amplitude, longueur d'onde et phase. Source: Wikimedia Commons. Wave_new_sine.svg: Kraaiennest Créé à l'origine sous forme d'onde cosinus, par l'utilisateur: Pelegs, sous forme de fichier: Wave_new.svg

Les mathématiques des ondes sinusoïdales ou sinusoïdales, comme elles sont également connues, sont celles des fonctions sinus et cosinus.

Ce sont des fonctions répétitives, ce qui signifie périodicité. Les deux ont la même forme, sauf que le cosinus est décalé vers la gauche par rapport au sinus d'un quart de cycle. On peut le voir sur la figure 2:

Figure 2. Les fonctions sin x et cos x sont décalées l'une par rapport à l'autre. Source: F. Zapata.

Alors cos x = sin (x + π / 2). A l'aide de ces fonctions, une onde sinusoïdale est représentée. Pour ce faire, la grandeur en question est placée sur l'axe vertical, tandis que l'heure est située sur l'axe horizontal.

Le graphique ci-dessus montre également la qualité répétitive de ces fonctions: le motif se répète continuellement et régulièrement. Grâce à ces fonctions, des tensions et des courants de type sinusoïdal peuvent être exprimés, variant dans le temps, en plaçant un v ou i pour représenter la tension ou le courant sur l'axe vertical au lieu du y, et sur l'axe horizontal au lieu du x, le t du temps est placé.

La manière la plus générale d'exprimer une onde sinusoïdale est:

Ensuite, nous approfondirons la signification de cette expression, définissant quelques termes de base afin de caractériser l'onde sinusoïdale.

les pièces

Période, amplitude, fréquence, cycle et phase sont des concepts appliqués aux ondes périodiques ou répétitives et sont importants pour les caractériser correctement.

Période

Une fonction périodique comme celles mentionnées, qui se répète à intervalles réguliers, remplit toujours la propriété suivante:

Où T est une quantité appelée la période de l'onde, et c'est le temps qu'il faut à une phase de l'onde pour se répéter. En unités SI, la période est mesurée en secondes.

Amplitude

Selon l'expression générale de l'onde sinusoïdale v (t) = v _m sin (ωt + φ), v _m est la valeur maximale de la fonction, qui se produit lorsque sin (ωt + φ) = 1 (en se rappelant que le plus grand valeur qui admet à la fois la fonction sinus et la fonction cosinus est 1). Cette valeur maximale est précisément l'amplitude de l'onde, également appelée amplitude de crête.

Dans le cas d'une tension, elle sera mesurée en volts et s'il s'agit d'un courant, elle sera en ampères. Dans l'onde sinusoïdale représentée, l'amplitude est constante, mais dans d'autres types d'onde, l'amplitude peut varier.

Cycle

C'est une partie de la vague contenue dans une période. Dans la figure précédente, la période a été prise en la mesurant à partir de deux pics ou pics consécutifs, mais elle peut commencer à être mesurée à partir d'autres points de la vague, à condition qu'ils soient limités par une période.

Observez dans la figure suivante comment un cycle couvre d'un point à un autre avec la même valeur (hauteur) et la même pente (inclinaison).

Figure 3. Dans une onde sinusoïdale, un cycle se déroule toujours sur une période. L'important est que le point de départ et la fin soient à la même hauteur. Source: Boylestad. Introduction à l'analyse de circuits. Pearson.

La fréquence

C'est le nombre de cycles qui se produisent en 1 seconde et est lié à l'argument de la fonction sinus: ωt. La fréquence est notée f et est mesurée en cycles par seconde ou Hertz (Hz) dans le système international.

La fréquence est le montant inverse de la période, donc:

Alors que la fréquence f est liée à la fréquence angulaire ω (pulsation) comme:

La fréquence angulaire est exprimée en radians / seconde dans le système international, mais les radians sont sans dimension, donc la fréquence f et la fréquence angulaire ω ont les mêmes dimensions. Notez que le produit ωt donne des radians en conséquence, et doit être pris en compte lors de l'utilisation de la calculatrice pour obtenir la valeur de sin ωt.

Phase

Il correspond au déplacement horizontal subi par l'onde, par rapport à un temps pris comme référence.

Dans la figure suivante, la vague verte est en avance sur la vague rouge au temps t _d. Deux ondes sinusoïdales sont en phase lorsque leur fréquence et leur phase sont identiques. Si la phase diffère, alors ils sont déphasés. Les ondes de la figure 2 sont également déphasées.

Figure 4. Ondes sinusoïdales déphasées. Source: Wikimedia commons. Aucun auteur lisible par machine fourni. Kanjo ~ commonswiki supposé (basé sur les revendications de droits d'auteur)..

Si la fréquence des ondes est différente, elles seront en phase lorsque la phase ωt + φ est la même dans les deux ondes à certains moments.

Générateur d'onde sinusoïdale

Il existe de nombreuses façons d'obtenir un signal sinusoïdal. Des prises électriques faites maison les fournissent.

Application de la loi de Faraday

Un moyen assez simple d'obtenir un signal sinusoïdal est d'utiliser la loi de Faraday. Cela indique que dans un circuit de courant fermé, par exemple une boucle, placé au milieu d'un champ magnétique, un courant induit est généré lorsque le champ magnétique le traverse change dans le temps. Par conséquent, une tension induite ou une force électromotrice induite est également générée.

Le flux du champ magnétique varie si la boucle est tournée avec une vitesse angulaire constante au milieu du champ créé entre les pôles N et S de l'aimant représenté sur la figure.

Figure 5. Générateur d'ondes basé sur la loi d'induction de Faraday. Source: Source: Raymond A. Serway, Jonh W. Jewett.

La limitation de ce dispositif est la dépendance de la tension obtenue avec la fréquence de rotation de la boucle, comme on le verra plus en détail dans l'exemple 1 de la section Exemples ci-dessous.

Oscillateur de Wien

Une autre façon d'obtenir une onde sinusoïdale, cette fois avec l'électronique, est à travers l'oscillateur de Wien, qui nécessite un amplificateur opérationnel en connexion avec des résistances et des condensateurs. On obtient ainsi des ondes sinusoïdales dont l'utilisateur peut modifier la fréquence et l'amplitude selon sa convenance, en s'ajustant avec des interrupteurs.

La figure montre un générateur de signaux sinusoïdaux, avec lequel d'autres formes d'onde peuvent également être obtenues: triangulaire et carrée entre autres.

Figure 6. Un générateur de signaux. Source: Source: Wikimedia Commons. Ocgreg sur Wikipedia anglais.

Comment calculer les ondes sinusoïdales?

Pour effectuer des calculs impliquant des ondes sinusoïdales, une calculatrice scientifique est utilisée qui a les fonctions trigonométriques sinus et cosinus, ainsi que leurs inverses. Ces calculatrices ont des modes pour travailler les angles en degrés ou en radians, et il est facile de passer d'une forme à l'autre. Le facteur de conversion est:

Selon le modèle de la calculatrice, il faut naviguer à l'aide de la touche MODE pour trouver l'option DEGREE, qui permet de travailler les fonctions trigonométriques en degrés, ou l'option RAD, pour travailler directement les angles en radians.

Par exemple sin 25º = 0,4226 avec la calculatrice réglée sur le mode DEG. La conversion de 25 ° en radians donne 0,4363 radians et sin 0,4363 rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

L'oscilloscope

L'oscilloscope est un appareil qui permet d'afficher des signaux de tension et de courant directs et alternatifs sur un écran. Il dispose de boutons pour ajuster la taille du signal sur une grille, comme illustré dans la figure suivante:

Figure 7. Un signal sinusoïdal mesuré avec un oscilloscope. Source: Boylestad.

Grâce à l'image fournie par l'oscilloscope et connaissant le réglage de la sensibilité dans les deux axes, il est possible de calculer les paramètres d'onde qui ont été précédemment décrits.

La figure montre le signal de tension sinusoïdal en fonction du temps, dans lequel chaque division sur l'axe vertical vaut 50 millivolts, tandis que sur l'axe horizontal, chaque division vaut 10 microsecondes.

L'amplitude crête à crête se trouve en comptant les divisions que l'onde couvre verticalement, à l'aide de la flèche rouge:

5 divisions sont comptées à l'aide de la flèche rouge, donc la tension crête-crête est:

La tension de crête V _p est mesurée à partir de l'axe horizontal, soit 125 mV.

Pour trouver la période, un cycle est mesuré, par exemple celui délimité par la flèche verte, qui couvre 3,2 divisions, puis la période est:

Exemples

Exemple 1

Pour le générateur de la figure 3, montrez à partir de la loi de Faraday que la tension induite est sinusoïdale. Supposons que la boucle se compose de N tours au lieu d'un seul, tous avec la même zone A et tourne à vitesse angulaire constante ω au milieu d'un champ magnétique uniforme B.

Solution

La loi de Faraday dit que la force électromotrice induite ε est:

Où Φ _B est le flux du champ magnétique, qui sera variable, car il dépend de la façon dont la boucle est exposée au champ à chaque instant. Le signe négatif décrit simplement le fait que cette emf s'oppose à la cause qui la produit (loi de Lenz). Le débit dû à un seul tour est:

θ est l'angle que le vecteur normal au plan de la boucle forme avec le champ B au fur et à mesure de la rotation (voir figure), cet angle varie naturellement comme:

De sorte que: Φ _B = BAcos θ = BAcos ωt. Il ne nous reste plus qu'à dériver cette expression par rapport au temps et avec cela nous obtenons la force électromotrice induite:

Puisque le champ B est uniforme et que l'aire de la boucle ne varie pas, ils laissent en dehors de la dérivée:

Une boucle a une superficie de 0,100 m ² et tourne à 60,0 tr / s, avec son axe de rotation perpendiculaire à un champ magnétique uniforme de 0,200 T.Sachant que la bobine a 1000 tours, trouvez: a) La force électromotrice maximale qui est générée, b) L'orientation de la bobine par rapport au champ magnétique lorsque la force électromotrice induite maximale se produit.

Figure 8. Une boucle de N tours tourne au milieu d'un champ magnétique uniforme et génère un signal sinusoïdal. Source: R. Serway, Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 2. Apprentissage de Cengage.

Solution

a) La force électromotrice maximale est ε _max = ωNBA

Avant de procéder au remplacement des valeurs, la fréquence de 60 tr / s doit être transmise aux unités du système international. On sait qu'un tour équivaut à un tour ou 2p radians:

60,0 tr / s = 120p radians / s

ε _max = 120p radians x 1000 tours x 0,200 T x 0,100 m ² = 7539,82 V = 7,5 kV

b) Lorsque cette valeur survient sin ωt = 1 donc:

ωt = θ = 90º, Dans ce cas, le plan de la spirale est parallèle à B, de sorte que le vecteur normal audit plan forme 90º avec le champ. Cela se produit lorsque le vecteur en noir de la figure 8 est perpendiculaire au vecteur vert représentant le champ magnétique.

Références

1. Boylestad, R. 2011. Introduction à l'analyse des circuits. 12ème. Édition. Pearson. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Electromagnétisme. Série de physique pour la science et l'ingénierie. Volume 6. Edité par D. Figueroa. Université Simon Bolivar. 115 et 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Laboratoire de physique 2. Éditorial Equinoccio. 03-1 et 14-1.
4. Ondes sinusoïdales. Récupéré de: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008. Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 2. Apprentissage de Cengage. 881- 884