NOTATION DÉVELOPPÉE: QU'EST-CE QUE C'EST, EXEMPLES ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

La notation développée est celle dans laquelle un chiffre numérique est exprimé comme une somme dans laquelle la valeur de position de chaque chiffre qui compose le nombre est prise en compte.

Par exemple, lorsque vous écrivez un chiffre tel que 2345, chaque chiffre qu'il contient a une hiérarchie de position. En lisant le chiffre extrême droit vers la gauche, la hiérarchie ou la valeur augmente.

Figure 1. Avec neuf graphèmes, il est possible de représenter n'importe quel nombre.

Sur la figure 2345, le chiffre 5 représente cinq unités, le chiffre 4 représente quatre dizaines, le 3 correspond à la troisième position de gauche à droite et donc le 3 représente trois centaines, enfin le 2 représente deux milliers. En d'autres termes, en notation développée ou étendue, le chiffre 2345 s'écrit comme ceci:

2345 = 2 milliers + 3 centaines + 4 dizaines + 5 unités

Mais il peut aussi s'exprimer de la manière suivante:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

Le chiffre 2345 peut également être écrit comme la somme des puissances de 10:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

Où le circonflexe ^ signifie élever à l'exposant indiqué. Par exemple, 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Une autre façon d'écrire les exposants consiste à utiliser un exposant:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

Système de numérotation de position

Le système de chiffres arabes sont les nombres qui sont utilisés quotidiennement dans la grande majorité des continents et des pays du monde. Les chiffres arabes sont un système de base 10 car dix symboles ou graphèmes sont utilisés pour écrire n'importe quel nombre. Ces dix symboles sont:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Avec un seul de ces symboles, les chiffres entre zéro et neuf peuvent être exprimés. Pour exprimer des chiffres supérieurs à neuf, le système positionnel en base dix est utilisé. Le nombre 10 est un dix et un zéro. Le nombre 11 est un dix et une unité. Le nombre 123 (cent vingt-trois) est cent, deux dizaines et trois unités. Écrit sous la forme de puissances de dix, le nombre 123 sera:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

Où:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1.

Avec cet exemple, il est clair que la position du chiffre à l'extrême droite est la position 0 et représente le nombre d'unités, celle du deuxième chiffre de droite à gauche est la position 1 et représente le nombre de dizaines, le troisième chiffre (de droite gauche) a la position 2 et représente les centaines.

Figure 2. Notation développée de la figure 123.

Nombres fractionnaires ou décimaux

Avec le système positionnel décimal, il est également possible de représenter des nombres ou des chiffres inférieurs à l'unité ou supérieurs à l'unité mais pas des entiers, c'est-à-dire qu'ils ont des fractions de l'unité.

Pour représenter la fraction ½ dans le système décimal arabe, c'est-à-dire la moitié de l'unité, il s'écrit:

½ = 0,5

Pour arriver à cette expression dans notre système de base 10, les opérations suivantes ont été implicitement effectuées:

1- Le numérateur et le dénominateur sont multipliés par 5 pour avoir la fraction équivalente 5/10 = 1/2.

2- Diviser par 10 équivaut à multiplier par la puissance en base dix avec l'exposant moins un (10 ^ -1), soit 5/10 = 5 × 10 ^ -1.

3- L'exposant négatif indique combien de fois le chiffre indiqué est déplacé ou positionné à droite de la position de l'unité, dans notre cas il serait de 0,5.

4- ½ = 0,5 en notation étendue s'écrit comme ceci:

0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1

Où 10 ^ -1 = 0,1 est un dixième (la fraction correspondant à l'unité divisée en 10 parties égales).

De cette façon, le nombre 0,5 correspond à cinq dixièmes, mais le nombre 0,05 correspond à 5 centièmes et 0,005 à 5 millièmes.

Exemples de notation développée

Exemple 1

Étant donné le chiffre 40201 en notation standard, convertissez-le en notation développée.

Solution:

4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201

Exemple 2

Écrivez la fraction ¾ en notation étendue.

Solution:

Dans ce cas, vous disposez des trois quarts de l'unité.

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.

En mots, cela ressemblerait à ceci:

La fraction ¾ correspond à sept dixièmes plus cinq centièmes.

Développement d'exercices de notation

Exercice 1

Dites en mots l'expression développée du nombre 40201 de l'exemple 1.

Solution:

La notation développée ressemble à ceci:

40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1

Qu'en langage des mots, il est dit:

Quatre dizaines de milliers, plus zéro millier, plus deux cents, plus zéro dizaine, plus une unité.

Exercice 2

Exprimez la figure précédente en mots et décomposez la phrase correspondante sous forme développée.

Solution:

Le chiffre 40201 en mots est exprimé comme ceci:

Quarante mille deux cent un

La phrase précédente peut être développée comme:

40 × 1000 + 2 × 100 + 1

On peut dire que la manière de prononcer les chiffres est une manière semi-développée de les exprimer.

Exercice 3

Écrivez le nombre 7/3 sous forme développée.

Solution:

Il s'agit d'un chiffre exprimé sous forme de fraction impropre, car puisque le numérateur est supérieur au dénominateur, le chiffre est supérieur à l'unité.

Cette fraction impropre peut être décomposée comme la somme des fractions 6/3 + 1/3. La première des fractions donne un entier 2, tandis que 1/3 = 0,3333333, où le chiffre 3 se répète indéfiniment. Ainsi, l'expression décimale développée de la figure 7/3 sera toujours une expression approximative:

7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Exercice 6

Écrivez en notation standard, puis sous forme développée le nombre: vingt-trois milliards deux cent cinquante millions cinq cent vingt-six mille trois cent vingt-cinq et trois vingt-trois millièmes.

Solution:

Il faut se rappeler qu'un milliard équivaut à un milliard. Le mot milliard a été accepté par l'Académie royale espagnole en 1995 à la demande de feu le président vénézuélien Rafael Caldera, membre de l'Académie vénézuélienne de la langue. Dans ce cas, la figure de l'exercice en notation standard s'écrit comme ceci:

23,2501526,325,023

23 milliards + 250 millions + 526 milliers + 325 unités + 23 millièmes.

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

Enfin, la figure est écrite en notation développée:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Références

1. Khan Academy. Placer des graphiques de valeur. Récupéré de: es.khanacademy.org
2. Khan Academy. Écrivez un nombre sous forme développée (vidéo). Récupéré de: es.khanacademy.org
3. Ifrah, Geoges (1998): Histoire universelle des figures. Espasa Calpe SA
4. Wikipédia. Notation positionnelle. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Milliard. Récupéré de: es.wikipedia.com