ANGLES SUPPLÉMENTAIRES: QUE SONT-ILS, CALCUL, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

Deux ou plus sont des angles supplémentaires si la somme de leurs mesures correspond à la mesure d'un angle droit. La mesure d'un angle droit, également appelé angle plan, en degrés est de 180 ° et en radians, elle est de π.

Par exemple, nous constatons que les trois angles intérieurs d'un triangle sont complémentaires, puisque la somme de leurs mesures est de 180 °. Trois angles sont représentés sur la figure 1. De ce qui précède, il s'ensuit que α et β sont supplémentaires, car ils sont adjacents et leur somme complète un angle droit.

Figure 1: α et β sont complémentaires. α et γ sont supplémentaires. Source: F. Zapata.

Toujours dans la même figure, nous avons les angles α et γ qui sont également supplémentaires, car la somme de leurs mesures est égale à la mesure d'un angle plan, soit 180º. On ne peut pas dire que les angles β et γ soient supplémentaires car, les deux angles étant obtus, leurs mesures sont supérieures à 90 ° et donc leur somme dépasse 180 °.

Source: lifeder.com

Par contre, on peut dire que la mesure de l'angle β est égale à la mesure de l'angle γ, puisque si β est complémentaire à α et γ est supplémentaire à α, alors β = γ = 135º.

Exemples

Dans les exemples suivants, il est demandé de trouver les angles inconnus, indiqués par des points d'interrogation sur la figure 2. Ils vont des exemples les plus simples à certains un peu plus élaborés que le lecteur devrait être plus prudent.

Figure 2. Plusieurs exemples élaborés d'angles supplémentaires. Source: F. Zapata.

Exemple A

Dans la figure, nous avons que les angles adjacents α et 35 ° s'additionnent à un angle plan. Autrement dit, α + 35º = 180º et donc il est vrai que: α = 180º- 35º = 145º.

Exemple B

Puisque β est complémentaire de l'angle de 50 °, il s'ensuit que β = 180 ° - 50 ° = 130 °.

Exemple C

À partir de la figure 2C, la somme suivante peut être observée: γ + 90º + 15º = 180º. Autrement dit, γ est complémentaire de l'angle 105 ° = 90 ° + 15 °. On conclut alors que:

γ = 180 ° - 105 ° = 75 °

Exemple D

Puisque X est complémentaire à 72 °, il s'ensuit que X = 180 ° - 72 ° = 108 °. De plus Y est complémentaire de X, donc Y = 180º - 108º = 72º.

Et enfin Z est complémentaire de 72 °, donc Z = 180 ° - 72 ° = 108 °.

Exemple E

Les angles δ et 2δ sont supplémentaires, donc δ + 2δ = 180º. Ce qui veut dire que 3δ = 180º, ce qui nous permet à son tour d'écrire: δ = 180º / 3 = 60º.

Exemple F

Si on appelle l'angle entre 100º et 50º U, alors U leur est complémentaire, car on observe que leur somme complète un angle plan.

Il s'ensuit immédiatement que U = 150º. Puisque U est opposé par le sommet à W, alors W = U = 150º.

Exercices

Trois exercices sont proposés ci-dessous, dans chacun d'eux la valeur des angles A et B en degrés doit être trouvée, de sorte que les relations montrées dans la figure 3. soient remplies Le concept d'angles supplémentaires est utilisé pour les résoudre tous.

Figure 3. Figure pour résoudre les exercices I, II et III sur des angles supplémentaires. Tous les angles sont en degrés. Source: F. Zapata.

- Exercice I

Déterminez les valeurs des angles A et B de la partie I) de la figure 3.

Solution

A et B sont supplémentaires, à partir de laquelle nous avons que A + B = 180 degrés, puis l'expression de A et B est substituée en fonction de x, telle qu'elle apparaît dans l'image:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Une équation linéaire du premier ordre est obtenue. Pour le résoudre, les termes sont regroupés ci-dessous:

6 x + 60 = 180

En divisant les deux membres par 6, nous avons:

x + 10 = 30

Et finalement en résolvant, il s'ensuit que x vaut 20º.

Il faut maintenant brancher la valeur de x pour trouver les angles demandés. Par conséquent, l'angle A est: A = 20 +15 = 35º.

Et pour sa part, l'angle B est B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Exercice II

Trouvez les valeurs des angles A et B de la partie II) de la figure 3.

Solution

Puisque A et B sont des angles supplémentaires, nous avons que A + B = 180 degrés. En remplaçant l'expression de A et B en fonction de x donnée dans la partie II) de la figure 3, nous avons:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Encore une fois, une équation du premier degré est obtenue, pour laquelle les termes doivent être commodément groupés:

6 x + 60 = 180

En divisant les deux membres par 6, nous avons:

x + 10 = 30

D'où il suit que x vaut 20º.

En d'autres termes, l'angle A = -2 * 20 + 90 = 50º. Alors que l'angle B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Exercice III

Déterminez les valeurs des angles A et B de la partie III) de la figure 3 (en vert).

Solution

Puisque A et B sont des angles supplémentaires, nous avons que A + B = 180 degrés. Nous devons substituer l'expression de A et B en fonction de x donnée dans la figure 3, à partir de laquelle nous avons:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

En divisant les deux membres par 12 pour résoudre la valeur de x, nous avons:

x + 5 = 15

Finalement, on constate que x vaut 10 degrés.

Nous procédons maintenant à la substitution pour trouver l'angle A: A = 5 * 10 -20 = 30º. Et pour l'angle B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Angles supplémentaires dans deux parallèles coupés par une sécante

Figure 4. Angles entre deux parallèles coupés par une sécante. Source: F. Zapata.

Deux lignes parallèles coupées par une sécante est une construction géométrique courante dans certains problèmes. Entre ces lignes, 8 angles sont formés comme le montre la figure 4.

Parmi ces 8 angles, certaines paires d'angles sont supplémentaires, que nous énumérons ci-dessous:

1. Les angles extérieurs A et B et les angles extérieurs G et H
2. Les angles intérieurs D et C et les angles intérieurs E et F
3. Les angles extérieurs A et G et les angles extérieurs B et H
4. Les angles intérieurs D et E, et les intérieurs C et F

Par souci d'exhaustivité, les angles égaux les uns aux autres sont également nommés:

1. Les alternatives internes: D = F et C = E
2. Les alternatives externes: A = H et B = G
3. Les correspondants: A = E et C = H
4. Les opposés par le sommet A = C et E = H
5. Les correspondants: B = F et D = G
6. Vertex opposés B = D et F = G

- Exercice IV

En se référant à la figure 4, qui montre les angles entre deux droites parallèles coupées par une sécante, on détermine la valeur de tous les angles en radians, sachant que l'angle A = π / 6 radians.

Solution

A et B sont des angles externes supplémentaires donc B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Références

1. Baldor, JA 1973. Géométrie plane et spatiale. Culture d'Amérique centrale.
2. Lois et formules mathématiques. Systèmes de mesure d'angle. Récupéré de: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Géométrie de l'avion. Récupéré de: gutenberg.org.
4. Wikipédia. Angles supplémentaires. Récupéré de: es.wikipedia.com
5. Wikipédia. Convoyeur. Récupéré de: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: histoire, pièces, fonctionnement. Récupéré de: lifeder.com