NOMBRES TRANSCENDANTS: QUE SONT-ILS, FORMULES, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres transcendantaux sont ceux qui ne peuvent pas être obtenus à la suite d'une équation polynomiale. Le contraire d'un nombre transcendant est un nombre algébrique, qui sont des solutions d'une équation polynomiale du type:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Où les coefficients a _n, a _n-1,….. a ₂, a ₁, a ₀ sont des nombres rationnels, appelés coefficients du polynôme. Si un nombre x est une solution à l'équation précédente, alors ce nombre n'est pas transcendant.

Figure 1. Deux nombres de grande importance en science sont des nombres transcendants. Source: publicdomainpictures.net.

Nous analyserons quelques nombres et verrons s'ils sont transcendants ou non:

a) 3 n'est pas transcendant car c'est une solution de x - 3 = 0.

b) -2 ne peut pas être transcendant car c'est une solution de x + 2 = 0.

c) ⅓ est une solution de 3x - 1 = 0

d) Une solution de l'équation x ² - 2x + 1 = 0 est √2 -1, de sorte que le nombre par définition n'est pas transcendant.

e) √2 non plus car il est le résultat de l'équation x ² - 2 = 0. En mettant au carré √2, il en résulte 2, qui soustrait de 2 est égal à zéro. Donc √2 est un nombre irrationnel mais ce n'est pas transcendant.

Que sont les nombres transcendants?

Le problème est qu'il n'y a pas de règle générale pour les obtenir (nous dirons un peu plus tard), mais certains des plus connus sont le nombre pi et le nombre de Neper, désignés respectivement par: π et e.

Le nombre π

Le nombre π apparaît naturellement en observant que le quotient mathématique entre le périmètre P d'un cercle et son diamètre D, qu'il s'agisse d'un petit ou d'un grand cercle, donne toujours le même nombre, appelé pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Cela signifie que si le diamètre de la circonférence est pris comme unité de mesure, pour tous, grands ou petits, le périmètre sera toujours P = 3,14… = π, comme le montre l'animation de la figure 2.

Figure 2. La longueur du périmètre d'un cercle est de pi fois la longueur du diamètre, pi étant d'environ 3,1416.

Afin de déterminer plus de décimales, il est nécessaire de mesurer P et D avec une plus grande précision, puis de calculer le quotient, ce qui a été fait mathématiquement. La conclusion est que les décimales du quotient n'ont pas de fin et ne se répètent jamais, donc le nombre π en plus d'être transcendant est également irrationnel.

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas être exprimé comme la division de deux nombres entiers.

On sait que chaque nombre transcendant est irrationnel, mais il n'est pas vrai que tous les nombres irrationnels sont transcendants. Par exemple √2 est irrationnel, mais ce n'est pas transcendant.

Figure 3. Les nombres transcendants sont irrationnels, mais l'inverse n'est pas vrai.

Le nombre e

Le nombre transcendant e est la base des logarithmes naturels et son approximation décimale est:

et ≈ 2,718281828459045235360….

Si vous vouliez écrire exactement le nombre e, il serait nécessaire d'écrire des décimales infinies, car chaque nombre transcendant est irrationnel, comme dit précédemment.

Les dix premiers chiffres de e sont faciles à retenir:

2,7 1828 1828 et bien qu'il semble suivre un modèle répétitif, cela n'est pas réalisé en décimales d'ordre supérieur à neuf.

Une définition plus formelle de e est la suivante:

Cela signifie que la valeur exacte de e est obtenue en effectuant l'opération indiquée dans cette formule, lorsque le nombre naturel n tend vers l'infini.

Ceci explique pourquoi nous ne pouvons obtenir que des approximations de e, car quelle que soit la taille du nombre n placé, un n plus grand peut toujours être trouvé.

Cherchons quelques approximations par nous-mêmes:

-Lorsque n = 100 alors (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481 qui coïncide à peine dans la première décimale avec la valeur «vraie» de e.

-Si vous choisissez n = 10 000, vous avez (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815, ce qui coïncide avec la valeur «exacte» de e dans les trois premières décimales.

Ce processus devrait être suivi à l'infini pour obtenir la "vraie" valeur de e. Je ne pense pas que nous ayons le temps de le faire, mais essayons encore un:

Utilisons n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

Cela n'a que quatre décimales qui correspondent à la valeur considérée comme exacte.

L'important est de comprendre que plus la valeur de n choisie pour calculer e _n est élevée, plus elle sera proche de la valeur vraie. Mais cette valeur vraie n'aura que lorsque n est infini.

Figure 4. Il est montré graphiquement comment plus la valeur de n est élevée, plus la valeur de e est proche, mais pour atteindre la valeur exacte n doit être infini.

Autres chiffres importants

En dehors de ces nombres célèbres, il existe d'autres nombres transcendants, par exemple:

- 2 ^√2

-Le numéro de Champernowne en base 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Le numéro de Champernowne en base 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Le nombre Gamma γ ou constante d'Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901532860606

Ce qui est obtenu en faisant le calcul suivant:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Car quand n est très très grand. Pour avoir la valeur exacte du nombre Gamma, il faudrait faire le calcul avec n infini. Quelque chose de similaire à ce que nous avons fait ci-dessus.

Et il y a beaucoup plus de nombres transcendants. Le grand mathématicien Georg Cantor, né en Russie et vivant entre 1845 et 1918, a montré que l'ensemble des nombres transcendants est beaucoup plus grand que l'ensemble des nombres algébriques.

Formules où apparaît le nombre transcendant π

Le périmètre de la circonférence

P = π D = 2 π R, où P est le périmètre, D le diamètre et R le rayon de la circonférence. Il ne faut pas oublier que:

-Le diamètre de la circonférence est le segment le plus long qui relie deux points du même et qui passe toujours par son centre,

-Le rayon est la moitié du diamètre et est le segment qui va du centre au bord.

Aire d'un cercle

A = π R ² = ¼ π D ²

Surface d'une sphère

S = 4 π R ^2.

Oui, même si cela ne semble pas être le cas, la surface d'une sphère est la même que celle de quatre cercles de même rayon que la sphère.

Volume de la sphère

V = 4/3 π R ³

Exercices

- Exercice 1

La pizzeria «EXÓTICA» vend des pizzas de trois diamètres: petit 30 cm, moyen 37 cm et grand 45 cm. Un garçon a très faim et il s'est rendu compte que deux petites pizzas coûtaient la même chose qu'une grande. Quoi de mieux pour lui, acheter deux petites pizzas ou une grande?

Figure 5.- La surface d'une pizza est proportionnelle au carré du rayon, pi étant la constante de proportionnalité. Source: Pixabay.

Solution

Plus la surface est grande, plus la quantité de pizza est grande, c'est pourquoi la surface d'une grande pizza sera calculée et comparée à celle de deux petites pizzas:

Superficie de la grande pizza = ¼ π D ² = ¼ ⋅3,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Superficie de la petite pizza = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Par conséquent, deux petites pizzas auront une superficie de

2 x 706,86 = 1413,72 cm ².

C'est clair: vous aurez une plus grande quantité de pizza en achetant une seule grande que deux petites.

- Exercice 2

La pizzeria «EXÓTICA» vend également une pizza hémisphérique d'un rayon de 30 cm au même prix qu'une pizza rectangulaire mesurant 30 x 40 cm de chaque côté. Lequel choisirais-tu?

Figure 6.- La surface d'un hémisphère est le double de la surface circulaire de la base. Source: F. Zapata.

Solution

Comme mentionné dans la section précédente, la surface d'une sphère est quatre fois celle d'un cercle de même diamètre, donc un hémisphère de 30 cm de diamètre aura:

Pizza hémisphérique 30 cm: 1413,72 cm ² (deux fois une circulaire de même diamètre)

Pizza rectangulaire: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ².

La pizza hémisphérique a une plus grande surface.

Références

1. Fernández J. Le nombre e. Origine et curiosités. Récupéré de: soymatematicas.com
2. Profitez des maths. Numéro d'Euler. Récupéré de: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1ère. Diversifié. Éditions CO-BO.
4. García, M. Le nombre e en calcul élémentaire. Récupéré de: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipédia. Numéro PI. Récupéré de: wikipedia.com
6. Wikipédia. Des nombres transcendants. Récupéré de: wikipedia.com