NOMBRES RÉELS: HISTORIQUE, EXEMPLES, PROPRIÉTÉS, OPÉRATIONS - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres réels constituent l'ensemble numérique qui comprend les nombres naturels, les entiers, le rationnel et l'irrationnel. Ils sont désignés par le symbole ℝ ou simplement R et leur portée en science, ingénierie et économie est telle que lorsqu'on parle de «nombre», on prend presque pour acquis qu'il s'agit d'un nombre réel.

Les nombres réels sont utilisés depuis l'Antiquité, bien qu'ils n'aient pas reçu ce nom. Déjà à partir du moment où Pythagore a développé son célèbre théorème, des nombres sont apparus qui ne pouvaient pas être obtenus sous forme de quotients de nombres naturels ou d'entiers.

Figure 1. Diagramme de Venn montrant comment l'ensemble de nombres réels contient les autres ensembles de nombres. Source> Wikimedia Commons.

Des exemples de nombres sont √2, √3 et π. Ces nombres sont appelés irrationnels, par opposition aux nombres rationnels, qui proviennent de quotients de nombres entiers. Il fallait donc un ensemble numérique qui englobe les deux classes de nombres.

Le terme «nombre réel» a été créé par le grand mathématicien René Descartes (1596-1650), pour distinguer les deux types de racines qui peuvent résulter de la résolution d'une équation polynomiale.

Certaines de ces racines peuvent même être des racines de nombres négatifs, Descartes appelait ces «nombres imaginaires» et ceux qui ne l'étaient pas étaient des nombres réels.

La dénomination a persisté dans le temps, donnant lieu à deux grands ensembles numériques: les nombres réels et les nombres complexes, un ensemble plus grand qui comprend des nombres réels, des nombres imaginaires et ceux qui sont en partie réels et en partie imaginaires.

L'évolution des nombres réels a continué son cours jusqu'à ce qu'en 1872, le mathématicien Richard Dedekind (1831-1936) définisse formellement l'ensemble des nombres réels à travers les coupes dites de Dedekind. La synthèse de son travail a été publiée dans un article qui a vu le jour la même année.

Exemples de nombres réels

Le tableau ci-dessous montre des exemples de nombres réels. Cet ensemble a comme sous-ensembles les nombres naturels, les entiers, le rationnel et l'irrationnel. N'importe quel nombre de ces ensembles est, en soi, un nombre réel.

Par conséquent, 0, les négatifs, les positifs, les fractions et les décimales sont des nombres réels.

Figure 2. Des exemples de nombres réels sont naturels, entiers, rationnels, irrationnels et transcendants. Source: F. Zapata.

Représentation des nombres réels sur la ligne réelle

Les nombres réels peuvent être représentés sur la ligne réelle R, comme le montre la figure. Il n'est pas nécessaire que le 0 soit toujours présent, cependant il est commode de savoir que les réels négatifs sont à gauche et les positifs à droite. C'est pourquoi c'est un excellent point de référence.

Sur la droite réelle, une échelle est prise, dans laquelle les entiers sont trouvés:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. La flèche indique que la ligne s'étend à l'infini. Mais ce n'est pas tout, dans n'importe quel intervalle considéré, nous trouverons aussi toujours des nombres réels infinis.

Les nombres réels sont représentés dans l'ordre. Pour commencer, il y a l'ordre des entiers, dans lequel les positifs sont toujours supérieurs à 0, tandis que les négatifs sont inférieurs.

Cet ordre est maintenu dans les nombres réels. Les inégalités suivantes sont présentées à titre d'exemple:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Figure 3.- La vraie ligne. Source: Wikimedia Commons.

Propriétés des nombres réels

-Les nombres réels comprennent les nombres naturels, les entiers, les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

-La propriété commutative d'addition est remplie: l'ordre des addends n'altère pas la somme. Si a et b sont deux nombres réels, il est toujours vrai que:

a + b = b + a

-Le 0 est l'élément neutre de la somme: a + 0 = a

-Pour la somme la propriété associative est remplie. Si a, b et c sont des nombres réels: (a + b) + c = a + (b + c).

-Le contraire d'un nombre réel à est -a.

-La soustraction est définie comme la somme du contraire: a - b = a + (-b).

-La propriété commutative du produit est remplie: l'ordre des facteurs n'altère pas le produit: ab = ba

-Dans le produit, la propriété associative s'applique également: (ab).c = a. (Bc)

-Le 1 est l'élément neutre de la multiplication: a.1 = a

-La propriété distributive de la multiplication est valide par rapport à l'addition: a. (b + c) = ab + ac

-La division par 0 n'est pas définie.

-Tout nombre réel a, sauf 0, a un inverse multiplicatif de ^-1 tel que aa ^-1 = 1.

-Si a est un nombre réel: un ⁰ = 1 et un ¹ = a.

-La valeur absolue ou module d'un nombre réel est la distance entre ledit nombre et 0.

Opérations avec des nombres réels

Avec les nombres réels, vous pouvez effectuer les opérations effectuées avec les autres ensembles numériques, y compris l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'autonomisation, la radication, les logarithmes et plus encore.

Comme toujours, la division par 0 n'est pas définie, pas plus que les logarithmes des nombres négatifs ou 0, bien qu'il soit vrai que log 1 = 0 et que les logarithmes des nombres entre 0 et 1 sont négatifs.

Applications

Les applications des nombres réels à toutes sortes de situations sont extrêmement variées. Les nombres réels apparaissent comme des réponses à de nombreux problèmes en sciences exactes, en informatique, en ingénierie, en économie et en sciences sociales.

Toutes sortes de grandeurs et de quantités telles que les distances, les temps, les forces, l'intensité du son, l'argent et bien d'autres encore, ont leur expression en nombres réels.

La transmission des signaux téléphoniques, l'image et le son d'une vidéo, la température d'un climatiseur, d'un radiateur ou d'un réfrigérateur peuvent être contrôlés numériquement, ce qui signifie transformer des grandeurs physiques en séquences numériques.

La même chose se produit lors d'une transaction bancaire sur Internet ou lors de la consultation de la messagerie instantanée. Les vrais chiffres sont partout.

Exercice résolu

Nous allons voir avec des exercices comment ces nombres fonctionnent dans des situations courantes que nous rencontrons au quotidien.

Exercice 1

La poste n'accepte que les colis dont la longueur, plus la circonférence, n'excède pas 108 pouces. Par conséquent, pour que le package affiché soit accepté, il doit être satisfait que:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Un colis de 6 pouces de largeur, 8 pouces de hauteur et 5 pieds de longueur pourra-t-il passer?

b) Et celui qui mesure 2 x 2 x 4 pi ³ ?

c) Quelle est la hauteur acceptable la plus élevée pour un colis dont la base est carrée et mesure 9 x 9 pouces ² ?

Réponds à

L = 5 pieds = 60 pouces

x = 6 pouces

y = 8 pouces

L'opération à résoudre est:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) pouces = 60 + 2 x 14 pouces = 60 + 28 pouces = 88 pouces

Le colis est accepté.

Réponse b

Les dimensions de ce paquet sont plus petites que le paquet a), de sorte qu'ils le traversent tous les deux.

Réponse c

Dans ce package:

x = L = 9 pouces

Il faut noter que:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2 ans ≤ 108

2 ans ≤ 81

et ≤ 40,5 pouces

Références

1. Carena, M. 2019. Manuel de mathématiques pré-universitaires. Université nationale du littoral.
2. Diego, A. Les nombres réels et leurs propriétés. Récupéré de: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Mathématiques 9e. Degré. Éditions CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathématiques pour le calcul. 5ème. Édition. Apprentissage Cengage.