NOMBRES PREMIERS: CARACTÉRISTIQUES, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres premiers, également appelés premiers absolus, sont les nombres naturels qui ne sont divisibles qu'eux-mêmes et 1. Cette catégorie est composée de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et plusieurs plus.

Au lieu de cela, un nombre composé est divisible par lui-même, par 1 et au moins un autre nombre. On a par exemple 12, qui est divisible par 1, 2, 4, 6 et 12. Par convention, 1 n'est pas inclus dans la liste des nombres premiers ou dans la liste des composés.

Figure 1. Quelques nombres premiers. Source: Wikimedia Commons.

La connaissance des nombres premiers remonte aux temps anciens; les anciens Egyptiens les utilisaient déjà et ils étaient sûrement connus bien avant.

Ces nombres sont très importants, car tout nombre naturel peut être représenté par le produit des nombres premiers, cette représentation étant unique, sauf dans l'ordre des facteurs.

Ce fait est pleinement établi dans un théorème appelé le théorème fondamental de l'arithmétique, qui stipule que les nombres qui ne sont pas premiers sont nécessairement constitués de produits de nombres qui le sont.

Caractéristiques des nombres premiers

Voici les principales caractéristiques des nombres premiers:

-Ils sont infinis, car quelle que soit la taille d'un nombre premier, vous pouvez toujours en trouver un plus grand.

-Si un nombre premier p ne divise pas exactement un autre nombre a, alors on dit que p et a sont premiers l'un par rapport à l'autre. Lorsque cela se produit, le seul diviseur commun que les deux ont est 1.

Il n'est pas nécessaire que a soit un nombre premier absolu. Par exemple, 5 est premier, et bien que 12 ne soit pas, les deux nombres sont premiers l'un par rapport à l'autre, puisque les deux ont 1 comme diviseur commun.

-Lorsqu'un nombre premier p divise une puissance du nombre n, il divise également n. Considérons 100, qui est une puissance de 10, spécifiquement 10 ². Il arrive que 2 divise à la fois 100 et 10.

-Tous les nombres premiers sont impairs sauf 2, donc son dernier chiffre est 1, 3, 7 ou 9. 5 n'est pas inclus, car même s'il est impair et premier, ce n'est jamais le chiffre final d'un autre nombre premier. En fait, tous les nombres qui se terminent par 5 sont des multiples de cela et ne sont donc pas premiers.

-Si p est un nombre premier et diviseur du produit de deux nombres ab, alors p divise l'un d'eux. Par exemple, le nombre premier 3 divise le produit 9 x 11 = 99, puisque 3 est un diviseur de 9.

Comment savoir si un nombre est premier

La primauté est le nom donné à la qualité d'être premier. Eh bien, le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) a trouvé un moyen de vérifier la primalité d'un nombre, dans le soi-disant petit théorème de Fermat, qui dit:

"Etant donné un entier naturel premier p et tout entier naturel supérieur à 0, il est vrai que a ^p - a est un multiple de p, tant que p est premier".

Nous pouvons corroborer cela en utilisant de petits nombres, par exemple supposons que p = 4, que nous savons déjà n'est pas premier et déjà = 6:

6 ^quatre - 6 = 1296-6 = 1290

Le nombre 1290 n'est pas exactement divisible par 4, donc 4 n'est pas un nombre premier.

Faisons le test maintenant avec p = 5, qui est premier et ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 est divisible par 5, car tout nombre qui se termine par 0 ou 5 est. En fait 7760/5 = 1554. Puisque le petit théorème de Fermat est vrai, nous pouvons nous assurer que 5 est un nombre premier.

La preuve par le théorème est efficace et directe avec de petits nombres, dans lesquels l'opération est facile à réaliser, mais que faire si on nous demande de découvrir la primalité d'un grand nombre?

Dans ce cas, le nombre est successivement divisé entre tous les nombres premiers plus petits, jusqu'à ce qu'une division exacte soit trouvée ou que le quotient soit inférieur au diviseur.

Si une division est exacte, cela signifie que le nombre est composé et si le quotient est inférieur au diviseur, cela signifie que le nombre est premier. Nous allons le mettre en pratique dans l'exercice résolu 2.

Façons de trouver un nombre premier

Il existe une infinité de nombres premiers et il n'y a pas de formule unique pour les déterminer. Cependant, en regardant certains nombres premiers comme ceux-ci:

3, 7, 31, 127…

On observe qu'ils sont de la forme 2 ⁿ - 1, avec n = 2, 3, 5, 7, 9… On s'assure de ceci:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Mais nous ne pouvons pas garantir qu'en général 2 ⁿ - 1 soit premier, car il existe certaines valeurs de n pour lesquelles cela ne fonctionne pas, par exemple 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Et le nombre 15 n'est pas premier, puisqu'il se termine par 5. Cependant, l'un des plus grands nombres premiers connus, trouvé par des calculs informatiques, est de la forme 2 ⁿ - 1 avec:

n = 57 885 161

La formule de Mersenne nous assure que 2 ^p - 1 est toujours premier, tant que p est également premier. Par exemple, 31 est premier, il est donc certain que 2 ³¹ - 1 est également premier:

2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647

Cependant, la formule vous permet de déterminer uniquement certains nombres premiers, pas tous.

Formule d'Euler

Le polynôme suivant permet de trouver des nombres premiers à condition que n soit compris entre 0 et 39:

P (n) = n ² + n + 41

Plus loin dans la section des exercices résolus, il y a un exemple de son utilisation.

Le tamis d'Eratosthène

Ératosthène était un physicien et mathématicien de la Grèce antique qui a vécu au 3ème siècle avant JC Il a mis au point une méthode graphique pour trouver les nombres premiers que nous pouvons mettre en pratique avec de petits nombres, elle s'appelle le tamis Eratosthenes (un tamis est comme un tamis).

-Les nombres sont placés dans un tableau comme celui montré dans l'animation.

-Les nombres pairs sont alors barrés, sauf pour 2 dont on sait qu'il est premier. Tous les autres sont des multiples de cela et ne sont donc pas primordiaux.

-Les multiples de 3, 5, 7 et 11 sont également marqués, à l'exclusion de tous car nous savons qu'ils sont premiers.

-Les multiples de 4, 6, 8, 9 et 10 sont déjà marqués, car ils sont composés et donc multiples de certains des nombres premiers indiqués.

-Enfin, les nombres non marqués sont premiers.

Figure 2. Animation du tamis Eratosthenes. Source: Wikimedia Commons.

Exercices

- Exercice 1

En utilisant le polynôme d'Euler pour les nombres premiers, trouvez 3 nombres supérieurs à 100.

Solution

C'est le polynôme proposé par Euler pour trouver les nombres premiers, qui fonctionne pour des valeurs de n comprises entre 0 et 39.

P (n) = n ² + n + 41

Par essais et erreurs, nous sélectionnons une valeur de n, par exemple n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Puisque n = 8 produit un nombre premier supérieur à 100, alors nous évaluons le polynôme pour n = 9 et n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Exercice 2

Découvrez si les nombres suivants sont premiers:

a) 13

b) 191

Solution pour

Le 13 est assez petit pour utiliser le petit théorème de Fermat et l'aide de la calculatrice.

Nous utilisons a = 2 pour que les nombres ne soient pas trop grands, bien que a = 3, 4 ou 5 puisse également être utilisé:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 est divisible par 2, car il est pair, donc 13 est premier. Le lecteur peut corroborer cela en faisant le même test avec a = 3.

Solution b

191 est trop grand pour être prouvé avec le théorème et une calculatrice commune, mais nous pouvons trouver la division entre chaque nombre premier. Nous omettons de diviser par 2 car 191 n'est pas pair et la division ne sera pas exacte ou le quotient inférieur à 2.

Nous essayons de diviser par 3:

191/3 = 63 666…

Et cela ne donne pas de précision, ni le quotient inférieur au diviseur (63 666… est supérieur à 3)

On continue ainsi à essayer de diviser 191 entre les nombres premiers 5, 7, 11, 13 et ni la division exacte n'est atteinte, ni le quotient inférieur au diviseur. Jusqu'à ce qu'il soit divisé par 17:

191/17 = 11, 2352…

Comme ce n'est pas exact et 11.2352… est inférieur à 17, le nombre 191 est premier.

Références

1. Baldor, A. 1986. Arithmétique. Éditions et distributions Codex.
2. Prieto, C. Les nombres premiers. Récupéré de: paginas.matem.unam.mx.
3. Propriétés des nombres premiers. Récupéré de: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Nombres premiers: comment les trouver avec le tamis Eratosthenes. Récupéré de: smartick.es.
5. Wikipédia. Nombre premier. Récupéré de: es.wikipedia.org.