NOMBRES IRRATIONNELS: HISTOIRE, PROPRIÉTÉS, CLASSIFICATION, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres irrationnels sont ceux dont l'expression a des chiffres décimaux infinis sans motif répétitif, par conséquent, ne peuvent pas être obtenus à partir du rapport entre deux entiers quelconques.

Parmi les nombres irrationnels les plus connus sont:

Figure 1. De haut en bas les nombres irrationnels suivants: pi, le nombre d'Euler, le nombre d'or et deux racines carrées. Source: Pixabay.

Parmi eux, sans aucun doute π (pi) est le plus connu, mais il y en a beaucoup plus. Tous appartiennent à l'ensemble des nombres réels, qui est l'ensemble numérique qui regroupe les nombres rationnels et irrationnels.

Les ellipses de la figure 1 indiquent que les décimales continuent indéfiniment, ce qui se passe, c'est que l'espace des calculatrices ordinaires ne permet d'en montrer que quelques-unes.

Si l'on regarde attentivement, chaque fois que l'on fait le quotient entre deux nombres entiers, on obtient une décimale avec des chiffres limités ou sinon, avec des chiffres infinis dans lesquels un ou plusieurs sont répétés. Eh bien, cela ne se produit pas avec des nombres irrationnels.

Histoire des nombres irrationnels

Le grand mathématicien Pythagore, né en 582 avant JC à Samos, en Grèce, a fondé l'école de pensée de Pythagore et a découvert le célèbre théorème qui porte son nom. Nous l'avons ici sur la gauche (les Babyloniens le savaient peut-être bien avant).

Figure 2. Le théorème de Pythagore appliqué à un triangle de côtés égaux à 1. Source: Pixabay / Wikimedia Commons.

Eh bien, lorsque Pythagore (ou probablement un de ses disciples) a appliqué le théorème à un triangle rectangle avec des côtés égaux à 1, il a trouvé le nombre irrationnel √2.

Il l'a fait de cette façon:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Et il s'est tout de suite rendu compte que ce nouveau nombre ne provenait pas du quotient entre deux autres nombres naturels, qui étaient ceux connus à l'époque.

Il a donc appelé cela irrationnel, et la découverte a causé une grande anxiété et une grande confusion parmi les Pythagoriciens.

Propriétés des nombres irrationnels

-Le ensemble de tous les nombres irrationnels est notée par la lettre I et parfois Q * ou Q ^C. L'union entre les nombres irrationnels I ou Q * et les nombres rationnels Q, donne naissance à l'ensemble des nombres réels R.

-Avec des nombres irrationnels, les opérations arithmétiques connues peuvent être effectuées: addition, soustraction, multiplication, division, autonomisation et plus.

-La division par 0 n'est pas non plus définie entre les nombres irrationnels.

-La somme et le produit entre les nombres irrationnels n'est pas nécessairement un autre nombre irrationnel. Par exemple:

√2 x √8 = √16 = 4

Et 4 n'est pas un nombre irrationnel.

-Cependant, la somme d'un nombre rationnel plus un nombre irrationnel donne un résultat irrationnel. De cette manière:

1 + √2 = 2,41421356237…

-Le produit d'un nombre rationnel différent de 0 par un nombre irrationnel est également irrationnel. Regardons cet exemple:

2 x √2 = 2,828427125…

-L'inverse d'un irrationnel entraîne un autre nombre irrationnel. Essayons quelques-uns:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Ces nombres sont intéressants car ce sont aussi les valeurs de certains rapports trigonométriques d'angles connus. La plupart des rapports trigonométriques sont des nombres irrationnels, mais il existe des exceptions, comme sin 30º = 0,5 = ½, qui est rationnel.

-Dans la somme les propriétés commutatives et associatives sont remplies. Si a et b sont deux nombres irrationnels, cela signifie que:

a + b = b + a.

Et si c est un autre nombre irrationnel, alors:

(a + b) + c = a + (b + c).

-La propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition est une autre propriété bien connue qui est également vraie pour les nombres irrationnels. Dans ce cas:

a. (b + c) = ab + ac

-Un irrationnel a a son contraire: -a. Lorsqu'ils sont additionnés, le résultat est 0:

a + (- a) = 0

-Entre deux rationnels différents, il y a au moins un nombre irrationnel.

Localisation d'un nombre irrationnel sur la ligne réelle

La ligne réelle est une ligne horizontale où se trouvent les nombres réels, dont les nombres irrationnels sont une partie importante.

Pour trouver un nombre irrationnel sur la droite réelle, sous forme géométrique, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, une règle et une boussole.

A titre d'exemple, nous allons localiser √5 sur la ligne réelle, pour laquelle nous dessinons un triangle rectangle avec des côtés x = 2 et y = 1, comme le montre la figure:

Figure 3. Méthode pour localiser un nombre irrationnel sur la ligne réelle. Source: F. Zapata.

Selon le théorème de Pythagore, l'hypoténuse d'un tel triangle est:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Maintenant, la boussole est placée avec le point à 0, où se trouve également l'un des sommets du triangle rectangle. La pointe du crayon boussole doit être au sommet A.

Un arc de circonférence est dessiné qui coupe à la ligne réelle. Puisque la distance entre le centre de la circonférence et tout point sur celui-ci est le rayon, qui est égal à √5, le point d'intersection est également éloigné de √5 du centre.

Le graphique montre que √5 est compris entre 2 et 2,5. Une calculatrice nous donne la valeur approximative de:

√5 = 2,236068

Et ainsi, en construisant un triangle avec les côtés appropriés, d'autres irrationnels peuvent être localisés, tels que √7 et d'autres.

Classification des nombres irrationnels

Les nombres irrationnels sont classés en deux groupes:

-Algébrique

-Transcendantale ou transcendantale

Nombres algébriques

Les nombres algébriques, irrationnels ou non, sont des solutions d'équations polynomiales dont la forme générale est:

un _n x ⁿ + un _n-1 x ^n-1 + un _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Un exemple d'équation polynomiale est une équation quadratique comme celle-ci:

x ³ - 2x = 0

Il est facile de montrer que le nombre irrationnel √2 est l'une des solutions de cette équation.

Nombres transcendants

D'un autre côté, les nombres transcendants, bien qu'ils soient irrationnels, ne se présentent jamais comme une solution à une équation polynomiale.

Les nombres transcendants les plus fréquemment rencontrés en mathématiques appliquées sont π, en raison de sa relation avec la circonférence et le nombre e, ou le nombre d'Euler, qui est la base des logarithmes naturels.

Exercice

Un carré gris est placé sur un carré noir à la position indiquée sur la figure. La surface du carré noir est connue pour être de 64 cm ². Quelle est la longueur des deux carrés?

Figure 4. Deux carrés, dont nous voulons trouver la longueur des côtés. Source: F. Zapata.

Répondre

L'aire d'un carré de côté L est:

A = L ²

Le carré noir ayant une superficie de 64 cm ², son côté doit être de 8 cm.

Cette mesure est la même que la diagonale du carré gris. En appliquant le théorème de Pythagore à cette diagonale, et en se rappelant que les côtés d'un carré mesurent la même chose, on aura:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Où L _g est le côté du carré gris.

Par conséquent: 2L _g ² = 8 ²

Application de la racine carrée aux deux côtés de l'égalité:

L _g = (8 / √2) cm

Références

1. Carena, M. 2019. Manuel de mathématiques pré-universitaires. Université nationale du littoral.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 9e. Degré. Éditions CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
4. Portail éducatif. Les nombres irrationnels et leurs propriétés. Récupéré de: portaleducativo.net.
5. Wikipédia. Nombres irrationnels. Récupéré de: es.wikipedia.org.