NOMBRES ENTIERS: PROPRIÉTÉS, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Les entiers sont un ensemble de nombres utiles pour compter les objets complets et non. Aussi à compter ceux qui sont d'un côté et de l'autre d'un certain lieu de référence.

Aussi avec des nombres entiers, vous pouvez effectuer la soustraction ou la différence entre un nombre et un autre supérieur à lui, le résultat étant réglé comme une dette, par exemple. La distinction entre les revenus et les dettes est faite avec les signes + et - respectivement.

Figure 1. La droite numérique pour les nombres entiers. Source: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Par conséquent, l'ensemble des nombres entiers comprend les éléments suivants:

-Les entiers positifs, qui sont écrits précédés d'un signe +, ou simplement sans le signe, car il est également entendu qu'ils sont positifs. Par exemple: +1, +2, + 3… et ainsi de suite.

-Le 0, dans lequel le signe n'est pas pertinent, car peu importe de l'ajouter pour le soustraire d'une certaine quantité. Mais 0 est très important, car c'est la référence pour les entiers: d'un côté se trouvent les positifs et de l'autre les négatifs, comme on le voit sur la figure 1.

-Négatifs entiers, qui doivent toujours être écrits précédés du signe -, car ils distinguent les montants tels que les dettes et tous ceux de l'autre côté de la référence. Des exemples d'entiers négatifs sont: -1, -2, -3… et les suivants.

Comment les entiers sont-ils représentés?

Au début, nous représentons les nombres entiers avec la notation d'ensemble: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, c'est-à-dire des listes et organisé. Mais une représentation très utile est celle utilisée par la droite numérique. Cela nécessite de tracer une ligne, généralement horizontale, sur laquelle 0 est marqué et divisé en sections identiques:

Figure 2. Représentation de nombres entiers sur la droite numérique. De 0 à droite sont les entiers positifs et de 0 à gauche les nombres négatifs. Source: F. Zapata.

Les négatifs vont à gauche de 0 et les positifs vont à droite. Les flèches sur la droite numérique symbolisent le fait que les nombres vont à l'infini. Étant donné n'importe quel entier, il est toujours possible d'en trouver un qui est supérieur ou un autre qui est inférieur.

La valeur absolue d'un entier

La valeur absolue d'un entier est la distance entre le nombre et 0. Et les distances sont toujours positives. Par conséquent, la valeur absolue de l'entier négatif est le nombre sans son signe moins.

Par exemple, la valeur absolue de -5 est 5. La valeur absolue est indiquée par des barres, comme suit:

--5- = 5

Pour le visualiser, il suffit de compter les espaces sur la droite numérique, de -5 à 0. Alors que la valeur absolue d'un entier positif est le même nombre, par exemple - + 3- = 3, puisque sa distance de 0 est avec 3 espaces:

Figure 3. La valeur absolue d'un nombre entier est toujours une quantité positive. Source: F. Zapata.

Propriétés

-L'ensemble des entiers est noté Z et comprend l'ensemble des nombres naturels N, leurs éléments étant infinis.

-Un nombre entier et celui qui suit (ou celui qui le précède) sont toujours différenciés dans l'unité. Par exemple, après 5 vient 6, 1 étant la différence entre eux.

-Chaque entier a un prédécesseur et un successeur.

-Tout entier positif est supérieur à 0.

-Un entier négatif est toujours inférieur à 0 et tout nombre positif. Prenons par exemple le nombre -100, il est inférieur à 2, à 10 et à 50. Mais il est également inférieur à -10, -20 et -99 et il est supérieur à -200.

-Le 0 n'a pas de considérations de signe, car il n'est ni négatif ni positif.

-Avec les nombres entiers, vous pouvez effectuer les mêmes opérations que les nombres naturels, à savoir: addition, soustraction, multiplication, autonomisation et plus encore.

-L'entier opposé à un certain entier x, est –x et la somme d'un entier avec son opposé est 0:

x + (-x) = 0.

Opérations avec des entiers

- Somme

-Si les nombres à ajouter ont le même signe, leurs valeurs absolues sont ajoutées et le résultat est placé avec le signe que les ajouts ont. Voici quelques exemples:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Si les nombres sont d'un signe différent, les valeurs absolues sont soustraites (la plus élevée de la plus basse) et le résultat est placé avec le signe du nombre avec la valeur absolue la plus élevée, comme suit:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Propriétés de la somme des entiers

-La somme est commutative, donc l'ordre des addends ne modifie pas la somme. Soit a et b deux entiers, il est vrai que a + b = b + a

-Le 0 est l'élément neutre de la somme des entiers: a + 0 = a

-Tout entier ajouté à son opposé est 0. L'opposé de + a est –a, et inversement, l'opposé de –a est + a. Par conséquent: (+ a) + (-a) = 0.

Figure 2. Règle des signes pour l'addition de nombres entiers. Source: Wikimedia Commons.

- Soustraction

Pour soustraire des nombres entiers, il faut être guidé par cette règle: la soustraction équivaut à l'addition d'un nombre avec son opposé. Soient a et b deux nombres, alors:

a - b = a + (-b)

Par exemple, supposons que vous deviez effectuer l'opération suivante: (-3) - (+7), puis:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Multiplication

La multiplication des nombres entiers suit certaines règles pour les signes:

-Le produit de deux nombres avec le même signe est toujours positif.

-Lorsque deux nombres avec des signes différents sont multipliés, le résultat est toujours négatif.

-La valeur du produit est égale à la multiplication des valeurs absolues respectives.

Immédiatement quelques exemples qui clarifient ce qui précède:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Propriétés de la multiplication des entiers

-La multiplication est commutative. Soient a et b deux entiers, il est vrai que: ab = ba, qui peut aussi s'exprimer comme:

-L'élément neutre de la multiplication est 1. Soit a un nombre entier, donc a.1 = 1

-Tout entier multiplié par 0 est égal à 0: a.0 = 0

La propriété distributive

La multiplication est conforme à la propriété distributive en ce qui concerne l'addition. Si a, b et c sont des nombres entiers alors:

a. (b + c) = ab + ac

Voici un exemple d'application de cette propriété:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Responsabilisation

-Si la base est positive, le résultat de l'opération est toujours positif.

-Lorsque la base est négative, si l'exposant est pair, le résultat est positif. et si l'exposant est impair, le résultat est négatif.

- Division

Les mêmes règles de signe s'appliquent en division qu'en multiplication:

-Lors de la division de deux nombres entiers du même signe, le résultat est toujours positif.

-Lorsque deux entiers avec des signes différents sont divisés, le quotient est négatif.

Par exemple:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Important: la division n'est pas commutative, c'est-à-dire a ÷ b ≠ b ÷ a et comme toujours, la division par 0 n'est pas autorisée.

- Responsabilisation

Soit a un entier et nous voulons l'élever à un exposant n, alors nous devons multiplier a par lui-même n fois, comme indiqué ci-dessous:

a ⁿ = aaaa……a

Tenez également compte de ce qui suit, en tenant compte du fait que n est un nombre naturel:

-Si a est négatif et n est pair, le résultat est positif.

-Lorsque a est négatif et n est impair, il en résulte un nombre négatif.

-Si a est positif et n est pair ou impair, un entier positif en résulte toujours.

-Tout entier élevé à 0 est égal à 1: a ⁰ = 1

-Tout nombre élevé à 1 est égal au nombre: a ¹ = a

Disons par exemple que nous voulons trouver (–3) ⁴, pour ce faire nous multiplions (-3) quatre fois par lui-même, comme ceci: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Un autre exemple, également avec un entier négatif est:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produit de puissances d'égale base

Supposons deux puissances de base égale, si nous les multiplions, nous obtenons une autre puissance de même base, dont l'exposant est la somme des exposants donnés:

une ⁿ une ^m = une ^{n + m}

Quotient de puissances de base égales

Lors de la division des puissances de base égale, le résultat est une puissance de même base, dont l'exposant est la soustraction des exposants donnés:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Voici deux exemples qui clarifient ces points:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Exemples

Voyons des exemples simples pour appliquer ces règles, en gardant à l'esprit que dans le cas d'entiers positifs, le signe peut être supprimé:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Exercices résolus

- Exercice 1

Une fourmi se déplace le long de la droite numérique de la figure 1. À partir du point x = +3, elle effectue les mouvements suivants:

-Déplace 7 unités vers la droite

-Maintenant, vous retournez 5 unités vers la gauche

-Marcher 3 autres unités vers la gauche.

-Il recule et déplace 4 unités vers la droite.

À quel moment est la fourmi à la fin de la tournée?

Solution

Appelons les déplacements D. Lorsqu'ils sont à droite, ils reçoivent un signe positif et lorsqu'ils sont à gauche, un signe négatif. De cette façon, et à partir de x = +3, nous avons:

-Premier D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Seconde D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Troisième D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Chambre D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Quand la fourmi a terminé sa marche, elle est dans la position x = +6. Autrement dit, il est de 6 unités à droite de 0 sur la droite numérique.

- Exercice 2

Résolvez l'opération suivante:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Solution

Cette opération contient des signes de regroupement, qui sont des parenthèses, des crochets et des accolades. Lors de la résolution, vous devez d'abord prendre soin des parenthèses, puis des parenthèses et enfin des accolades. En d'autres termes, vous devez travailler de l'intérieur vers l'extérieur.

Dans cet exercice, le point représente une multiplication, mais s'il n'y a pas de point entre un nombre et une parenthèse ou un autre symbole, il est également entendu comme un produit.

Sous la résolution étape par étape, les couleurs servent de guide pour suivre le résultat de la réduction des parenthèses, qui sont les symboles de regroupement les plus internes:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Exercice 3

Résolvez l'équation du premier degré:

12 + x = 30 + 3x

Solution

Les termes sont regroupés avec l'inconnu à gauche de l'égalité et les termes numériques à droite:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Références

1. Carena, M. 2019. Manuel de mathématiques pré-universitaires. Université nationale du littoral.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques de 7e année. Éditions CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Sélection de sujets mathématiques. Publications de Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Les nombres entiers. Récupéré de: Cimanet.uoc.edu.