MODÈLE ATOMIQUE DE DIRAC JORDAN: CARACTÉRISTIQUES ET POSTULATS - PHYSIQUE - 2025

Le modèle atomique de Dirac-Jordan est la généralisation relativiste de l'opérateur hamiltonien dans l'équation qui décrit la fonction d'onde quantique de l'électron. Contrairement au modèle précédent, celui de Schrödinger, il n'est pas nécessaire d'imposer le spin au moyen du principe d'exclusion de Pauli, puisqu'il apparaît naturellement.

De plus, le modèle Dirac-Jordan incorpore des corrections relativistes, l'interaction spin-orbite et le terme de Darwin, qui rendent compte de la structure fine des niveaux électroniques de l'atome.

Figure 1. Orbitales électroniques dans l'atome d'hydrogène pour les trois premiers niveaux d'énergie. Source: Wikimedia Commons.

À partir de 1928, les scientifiques Paul AM Dirac (1902-1984) et Pascual Jordan (1902-1980), entreprirent de généraliser la mécanique quantique développée par Schrodinger, pour inclure les corrections de relativité restreinte d'Einstein.

Dirac part de l'équation de Schrödinger, qui consiste en un opérateur différentiel, appelé hamiltonien, qui opère sur une fonction connue sous le nom de fonction d'onde électronique. Cependant, Schrodinger n'a pas pris en compte les effets relativistes.

Les solutions de la fonction d'onde nous permettent de calculer les régions où avec un certain degré de probabilité l'électron se trouvera autour du noyau. Ces régions ou zones sont appelées orbitales et dépendent de certains nombres quantiques discrets, qui définissent l'énergie et le moment cinétique de l'électron.

Postulats

Dans les théories de la mécanique quantique, qu'elles soient relativistes ou non, il n'y a pas de concept d'orbites, puisque ni la position ni la vitesse de l'électron ne peuvent être spécifiées simultanément. De plus, la spécification de l'une des variables conduit à une imprécision totale dans l'autre.

De son côté, l'hamiltonien est un opérateur mathématique qui agit sur la fonction d'onde quantique et est construit à partir de l'énergie de l'électron. Par exemple, un électron libre a une énergie totale E qui dépend de son impulsion linéaire p comme ceci:

E = (p ²) / 2 m

Pour construire l'hamiltonien, nous partons de cette expression et substituons p à l'opérateur quantique pour l'élan:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Il est important de noter que les termes p et p sont différents, puisque le premier est l'impulsion et l'autre est l'opérateur différentiel associé à l'impulsion.

De plus, i est l'unité imaginaire et ħ la constante de Planck divisée par 2π, de cette façon on obtient l'opérateur hamiltonien H de l'électron libre:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Pour trouver l'hamiltonien de l'électron dans l'atome, ajoutez l'interaction de l'électron avec le noyau:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

Dans l'expression précédente -e est la charge électrique de l'électron et Φ (r) le potentiel électrostatique produit par le noyau central.

Or, l'opérateur H agit sur la fonction d'onde ψ selon l'équation de Schrödinger, qui s'écrit ainsi:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Les quatre postulats de Dirac

Premier postulat: l'équation d'onde relativiste a la même structure que l'équation d'onde de Schrödinger, ce qui change est le H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Deuxième postulat: l'opérateur hamiltonien est construit à partir de la relation énergie-impulsion d'Einstein, qui s'écrit comme suit:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ²) ^1/2

Dans la relation précédente, si la particule a une impulsion p = 0 alors nous avons la fameuse équation E = mc ² qui relie l'énergie au repos de toute particule de masse m à la vitesse de la lumière c.

Troisième postulat: pour obtenir l'opérateur hamiltonien, on utilise la même règle de quantification utilisée dans l'équation de Schrödinger:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Au début, il n'était pas clair comment gérer cet opérateur différentiel agissant dans une racine carrée, alors Dirac a entrepris d'obtenir un opérateur hamiltonien linéaire sur l'opérateur momentum et de là est né son quatrième postulat.

Quatrième postulat: pour se débarrasser de la racine carrée dans la formule énergétique relativiste, Dirac a proposé la structure suivante pour E ²:

Bien entendu, il est nécessaire de déterminer les coefficients alpha (α0, α1, α2, α3) pour que cela soit vrai.

L'équation de Dirac

Dans sa forme compacte, l'équation de Dirac est considérée comme l'une des plus belles équations mathématiques au monde:

Figure 2. Équation de Dirac sous forme compacte. Source: F. Zapata.

Et c'est là qu'il devient clair que les alphas constants ne peuvent pas être des quantités scalaires. La seule façon pour que l'égalité du quatrième postulat soit remplie est qu'il s'agit de matrices 4 × 4 constantes, appelées matrices de Dirac:

On observe immédiatement que la fonction d'onde cesse d'être une fonction scalaire et devient un vecteur à quatre composantes appelé spineur:

L'atome Dirac-Jordan

Pour obtenir le modèle atomique il faut passer de l'équation de l'électron libre à celle de l'électron dans le champ électromagnétique produit par le noyau atomique. Cette interaction est prise en compte en incorporant le potentiel scalaire Φ et le potentiel vectoriel A dans l'hamiltonien:

La fonction d'onde (spineur) qui résulte de l'incorporation de cet hamiltonien présente les caractéristiques suivantes:

- Remplit la relativité restreinte, car il prend en compte l'énergie intrinsèque de l'électron (premier terme de l'hamiltonien relativiste)

- Il a quatre solutions correspondant aux quatre composants de spinor

- Les deux premières solutions correspondent l'une à spin + ½ et l'autre à spin - ½

- Enfin, les deux autres solutions prédisent l'existence d'antimatière, puisqu'elles correspondent à celle de positrons à spins opposés.

Le grand avantage de l'équation de Dirac est que les corrections apportées à l'hamiltonien de Schrodinger de base H (o) peuvent être décomposées en plusieurs termes que nous montrerons ci-dessous:

Dans l'expression précédente, V est le potentiel scalaire, puisque le potentiel vectoriel A est nul si le proton central est supposé stationnaire et n'apparaît donc pas.

La raison pour laquelle les corrections de Dirac aux solutions de Schrödinger dans la fonction d'onde sont subtiles. Ils proviennent du fait que les trois derniers termes de l'hamiltonien corrigé sont tous divisés par la vitesse c de la lumière au carré, un nombre énorme, ce qui rend ces termes numériquement petits.

Corrections relativistes du spectre énergétique

En utilisant l'équation de Dirac-Jordan, nous trouvons des corrections au spectre d'énergie de l'électron dans l'atome d'hydrogène. Des corrections pour l'énergie dans les atomes avec plus d'un électron sous forme approximative sont également trouvées grâce à une méthodologie connue sous le nom de théorie des perturbations.

De même, le modèle de Dirac nous permet de trouver la correction de structure fine dans les niveaux d'énergie de l'hydrogène.

Cependant, des corrections encore plus subtiles telles que la structure hyperfine et le décalage de Lamb sont obtenues à partir de modèles plus avancés tels que la théorie quantique des champs, qui est née précisément des contributions du modèle de Dirac.

La figure suivante montre à quoi ressemblent les corrections relativistes de Dirac aux niveaux d'énergie:

Figure 3. Corrections du modèle de Dirac aux niveaux de l'atome d'hydrogène. Source: Wikimedia Commons.

Par exemple, les solutions de l'équation de Dirac prédisent correctement un décalage observé au niveau 2s. Il s'agit de la correction de structure fine bien connue dans la raie Lyman-alpha du spectre de l'hydrogène (voir figure 3).

D'ailleurs, la structure fine est le nom donné en physique atomique au doublement des raies du spectre d'émission des atomes, qui est une conséquence directe du spin électronique.

Figure 4. Division de structure fine pour l'état fondamental n = 1 et le premier état excité n = 2 dans l'atome d'hydrogène. Source: R Wirnata. Corrections relativistes aux atomes de type hydrogène. Researchgate.net

Articles d'intérêt

Modèle atomique De Broglie.

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Modèle atomique de Heisenberg.

Modèle atomique de Perrin.

Le modèle atomique de Thomson.

Le modèle atomique de Dalton.

Modèle atomique de Schrödinger.

Modèle atomique de Démocrite.

Le modèle atomique de Bohr.

Références

1. Théorie atomique. Récupéré de wikipedia.org.
2. Moment magnétique électronique. Récupéré de wikipedia.org.
3. Quanta: un manuel de concepts. (1974). Presse d'université d'Oxford. Récupéré de Wikipedia.org.
4. Modèle atomique de Dirac Jordan. Récupéré de prezi.com.
5. Le nouvel univers quantique. La presse de l'Universite de Cambridge. Récupéré de Wikipedia.org.