Les mathématiques discrètes correspondent à un domaine des mathématiques qui est chargé d'étudier l'ensemble des nombres naturels; c'est-à-dire l'ensemble des nombres finis et infinis dénombrables où les éléments peuvent être comptés séparément, un par un.

Ces ensembles sont appelés ensembles discrets; Un exemple de ces ensembles sont des nombres entiers, des graphiques ou des expressions logiques, et ils sont appliqués dans différents domaines scientifiques, principalement en informatique ou en informatique.

La description

En mathématiques discrètes, les processus sont dénombrables, ils sont basés sur des entiers. Cela signifie que les nombres décimaux ne sont pas utilisés et, par conséquent, l'approximation ou les limites ne sont pas utilisées, comme dans d'autres domaines. Par exemple, une inconnue peut être égale à 5 ou 6, mais jamais à 4,99 ou 5,9.

Par contre, dans la représentation graphique, les variables seront discrètes et sont données à partir d'un ensemble fini de points, qui sont comptés un par un, comme le montre l'image:

Les mathématiques discrètes naissent de la nécessité d'obtenir une étude exacte qui peut être combinée et testée, afin de l'appliquer dans différents domaines.

À quoi servent les mathématiques discrètes?

Les mathématiques discrètes sont utilisées dans plusieurs domaines. Parmi les principaux sont les suivants:

Combinatoire

Étudiez les ensembles finis où les éléments peuvent être ordonnés ou combinés et comptés.

Théorie de la distribution discrète

Étudie les événements qui se produisent dans des espaces où les échantillons peuvent être dénombrables, dans lesquels des distributions continues sont utilisées pour approximer des distributions discrètes, ou inversement.

Théorie de l'information

Il se réfère au codage d'informations, utilisé pour la conception, la transmission et le stockage de données, telles que les signaux analogiques.

L'informatique

Grâce aux mathématiques discrètes, les problèmes sont résolus à l'aide d'algorithmes, ainsi que ce qui peut être calculé et le temps qu'il faut pour le faire (complexité).

L'importance des mathématiques discrètes dans ce domaine a augmenté au cours des dernières décennies, en particulier pour le développement de langages de programmation et de logiciels.

Cryptographie

Il s'appuie sur des mathématiques discrètes pour créer des structures de sécurité ou des méthodes de chiffrement. Un exemple de cette application est les mots de passe, l'envoi de bits contenant des informations séparément.

Par l'étude des propriétés des nombres entiers et des nombres premiers (théorie des nombres) ces méthodes de sécurité peuvent être créées ou détruites.

Logique

Des structures discrètes, qui forment généralement un ensemble fini, sont utilisées pour prouver des théorèmes ou, par exemple, vérifier un logiciel.

La théorie des graphes

Il permet la résolution de problèmes logiques, en utilisant des nœuds et des lignes qui forment un type de graphique, comme le montre l'image suivante:

En mathématiques, il existe différents ensembles qui regroupent certains nombres selon leurs caractéristiques. Ainsi, par exemple, nous avons:

- Ensemble de nombres naturels N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

- Ensemble d'entiers E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

- Sous-ensemble de nombres rationnels Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- Ensemble de nombres réels R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

Les ensembles sont nommés avec des lettres majuscules de l'alphabet; tandis que les éléments sont nommés en lettres minuscules, entre accolades ({}) et séparés par des virgules (,). Ils sont généralement représentés dans des diagrammes tels que Venn et Caroll, ainsi que par calcul.

Avec des opérations de base telles que l'union, l'intersection, le complément, la différence et le produit cartésien, les ensembles et leurs éléments sont gérés, en fonction de la relation d'appartenance.

Il existe plusieurs types d'ensembles, les plus étudiés en mathématiques discrètes sont les suivants:

Ensemble fini

C'est celui qui a un nombre fini d'éléments et qui correspond à un nombre naturel. Ainsi, par exemple, A = {1, 2, 3,4} est un ensemble fini qui a 4 éléments.

Ensemble de comptabilité infini

C'est celui dans lequel il existe une correspondance entre les éléments d'un ensemble et les nombres naturels; c'est-à-dire qu'à partir d'un élément, tous les éléments d'un ensemble peuvent être successivement listés.

De cette manière, chaque élément correspondra à chaque élément de l'ensemble des nombres naturels. Par exemple:

L'ensemble des entiers Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} peut être répertorié comme Z = {0, 1, -1, 2, -2…}. De cette façon, il est possible de faire une correspondance biunivoque entre les éléments de Z et les nombres naturels, comme on peut le voir sur l'image suivante: