LIGNE PERPENDICULAIRE: CARACTÉRISTIQUES, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Une ligne perpendiculaire est une ligne qui forme un angle de 90 ° par rapport à une autre ligne, courbe ou surface. Notez que lorsque deux lignes sont perpendiculaires et se trouvent sur le même plan, lorsqu'elles se croisent, elles forment quatre angles identiques, chacun de 90 °.

Si l'un des angles n'est pas de 90 °, les lignes sont dites obliques. Les lignes perpendiculaires sont courantes dans la conception, l'architecture et la construction, par exemple le réseau de canalisations dans l'image suivante.

Figure 1. Réseau de tuyaux à angle droit et de nombreuses lignes perpendiculaires. Combien d'angles de 90 ° peut-on compter sur cette image? Source: Piqsels.

L'orientation des droites perpendiculaires peut être diverse, comme celles illustrées ci-dessous:

Figure 2. Lignes perpendiculaires au plan. Source: F. Zapata.

Quelle que soit la position, les lignes perpendiculaires les unes aux autres sont reconnues en identifiant l'angle entre elles à 90 °, à l'aide du rapporteur.

Notez que contrairement aux lignes parallèles dans le plan, qui ne se coupent jamais, les lignes perpendiculaires le font toujours en un point P, appelé pied de l'une des lignes sur l'autre. Par conséquent, deux droites perpendiculaires sont également sécantes.

Toute ligne a des perpendiculaires infinies, car rien qu'en déplaçant le segment AB vers la gauche ou la droite sur le segment CD, nous aurons de nouvelles perpendiculaires avec un autre pied.

Cependant, la perpendiculaire qui passe juste par le milieu d'un segment est appelée la bissectrice de ce segment.

Exemples de lignes perpendiculaires

Les lignes perpendiculaires sont courantes dans le paysage urbain. Dans l'image suivante (figure 3), seules quelques-unes des nombreuses lignes perpendiculaires que l'on peut voir sur la façade simple de ce bâtiment et ses éléments tels que les portes, les conduits, les marches et autres ont été mises en évidence:

Figure 3. Il y a un grand nombre de lignes perpendiculaires sur la façade d'un bâtiment commun comme celui-ci. Source: Richard Kang via Flickr.

La bonne chose est que trois lignes perpendiculaires les unes aux autres nous aident à établir l'emplacement des points et des objets dans l'espace. Ce sont les axes de coordonnées identifiés comme les axes x, y et z, clairement visibles dans le coin d'une pièce rectangulaire comme celle ci-dessous:

Figure 4. Le système d'axes cartésiens se compose de trois droites perpendiculaires l'une à l'autre, chacune ayant une direction préférentielle dans l'espace. Crédits d'image de gauche: treybunn 2 via Flickr. Image de droite; Needpix.

Dans le panorama de la ville, à droite, la perpendicularité entre le gratte-ciel et le sol est également remarquée. Le premier que nous dirions est le long de l'axe z, tandis que le sol est un plan, qui dans ce cas est le plan xy.

Si le sol constitue le plan xy, le gratte-ciel est également perpendiculaire à toute avenue ou rue, ce qui garantit sa stabilité, car une structure inclinée est instable.

Et dans les rues, partout où il y a des coins rectangulaires, il y a des lignes perpendiculaires. De nombreuses avenues et rues ont un tracé perpendiculaire, pour autant que le terrain et les caractéristiques géographiques le permettent.

Pour exprimer la perpendicularité abrégée entre des lignes, des segments ou des vecteurs, le symbole ⊥ est utilisé. Par exemple, si la ligne L ₁ est perpendiculaire à la ligne L ₂, on écrit:

L ₁ ⊥ L ₂

Plus d'exemples de lignes perpendiculaires

- Dans la conception, les lignes perpendiculaires sont très présentes, car de nombreux objets communs sont basés sur des carrés et des rectangles. Ces quadrilatères se caractérisent par des angles internes de 90 °, car leurs côtés sont parallèles deux à deux:

Figure 5. Les carrés et les rectangles font partie de nombreux modèles, comme cette simple boîte en carton pour ranger la marchandise. Source: F. Zapata.

- Les domaines dans lesquels se pratiquent différents sports sont délimités par de nombreux carrés et rectangles. Ceux-ci contiennent à leur tour des lignes perpendiculaires.

- Deux des segments qui composent un triangle rectangle sont perpendiculaires l'un à l'autre. Celles-ci sont appelées les jambes, tandis que la ligne restante s'appelle l'hypoténuse.

- Les lignes du vecteur champ électrique sont perpendiculaires à la surface d'un conducteur en équilibre électrostatique.

- Pour un conducteur chargé, les lignes et surfaces équipotentielles sont toujours perpendiculaires à celles du champ électrique.

- Dans les systèmes de canalisations ou de conduits utilisés pour transporter différents types de fluides, tels que le gaz qui apparaît sur la figure 1, il est courant d'avoir des coudes à angle droit. Ils forment donc des lignes perpendiculaires, tel est le cas d'une chaufferie:

Figure 6. Tuyaux dans une chaufferie. Source: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Exercices

- Exercice 1

Tracez deux lignes perpendiculaires à l'aide d'une règle et d'une boussole.

Solution

C'est très simple à faire, en suivant ces étapes:

-La première ligne est dessinée, appelée AB (noir).

-Au-dessus (ou en dessous si vous préférez) marquez le point P, par lequel passera la perpendiculaire. Si P est juste au-dessus (ou en dessous) du milieu de AB, cette perpendiculaire est la bissectrice du segment AB.

-Avec la boussole centrée sur P, tracez un cercle qui coupe AB en deux points, appelés A 'et B' (rouge).

-La boussole est ouverte en A'P, elle est centrée sur A 'et une circonférence est dessinée qui passe par P (vert).

-Répétez l'étape précédente, mais ouvrez maintenant la mesure de la longueur du segment B'P (vert). Les deux arcs de circonférence se coupent au point Q en dessous de P et bien sûr à ce dernier.

-Les points P et Q sont joints à la règle et la ligne perpendiculaire (bleue) est prête.

-Enfin, toutes les constructions auxiliaires doivent être soigneusement effacées, ne laissant que les perpendiculaires.

Figure 6. Tracé de lignes perpendiculaires avec une règle et une boussole. Source: Wikimedia Commons.

- Exercice 2

Deux droites L ₁ et L ₂ sont perpendiculaires si leurs pentes respectives m ₁ et m ₂ rencontrent cette relation:

m ₁ = -1 / m ₂

Étant donné la ligne y = 5x - 2, trouvez une ligne perpendiculaire à celle-ci et qui passe par le point (-1, 3).

Solution

-Le premier est la pente de la ligne perpendiculaire m _⊥, comme indiqué dans l'énoncé. La pente de la droite d'origine est m = 5, le coefficient qui accompagne "x". Ensuite:

m _⊥ = -1/5

-Ensuite, l'équation de la droite perpendiculaire y _{⊥ est construite, en} remplaçant la valeur précédemment trouvée:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Ensuite, la valeur de b est déterminée, à l'aide du point donné par l'instruction, le (-1,3), puisque la droite perpendiculaire doit le traverser:

y = 3

x = -1

Remplacer:

3 = -1/5 (-1) + b

Résolvez la valeur de b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Enfin, l'équation finale est construite:

et _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Références

1. Baldor, A. 2004. Géométrie plane et spatiale. Publications culturelles.
2. Clemens, S. 2001. Géométrie avec applications et résolution de problèmes. Addison Wesley.
3. Les mathématiques sont amusantes. Lignes perpendiculaires. Récupéré de: mathisfun.com.
4. Institut Monterey. Les lignes perpendiculaire. Récupéré de: montereyinstitute.org.
5. Wikipédia. Les lignes perpendiculaire. Récupéré de: es.wikipedia.org.