EXPÉRIENCE ALÉATOIRE: CONCEPT, ESPACE D'ÉCHANTILLONNAGE, EXEMPLES - DUDAS - 2025

Nous parlons d'une expérience aléatoire lorsque le résultat de chaque essai particulier est imprévisible, même si la probabilité d'occurrence d'un certain résultat peut être établie.

Cependant, il convient de préciser qu'il n'est pas possible de reproduire le même résultat d'un système aléatoire avec les mêmes paramètres et conditions initiales dans chaque essai de l'expérience.

Figure 1. Le jet de dés est une expérience aléatoire. Source: Pixabay.

Le lancement d'un dé est un bon exemple d'expérience aléatoire. Même si l'on prend soin de lancer le dé de la même manière, chaque tentative donnera un résultat imprévisible. En fait, la seule chose que l'on puisse dire est que le résultat peut être l'un des suivants: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Lancer une pièce est un autre exemple d'expérience aléatoire avec seulement deux résultats possibles: face ou face. Bien que la pièce soit lancée de la même hauteur et de la même manière, le facteur chance sera toujours présent, ce qui entraînera une incertitude à chaque nouvelle tentative.

Le contraire d'une expérience aléatoire est une expérience déterministe. Par exemple, on sait que chaque fois que de l'eau est bouillie au niveau de la mer, la température d'ébullition est de 100 ° C. Mais il n'arrive jamais que, dans les mêmes conditions, le résultat soit parfois 90 ºC, d'autres 12 0 ° C et parfois 100 ºC.

Espace d'échantillon

L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé l'espace d'échantillonnage. Dans l'expérience aléatoire de lancer un dé, l'espace échantillon est:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

D'autre part, dans le tirage au sort d'une pièce de monnaie, l'espace échantillon est:

M = {têtes, queues}.

Événement ou occurrence

Dans une expérience aléatoire, un événement est l'occurrence ou non d'un certain résultat. Par exemple, dans le cas d'un tirage au sort, un événement ou une occurrence est qu'il se présente.

Un autre événement dans une expérience aléatoire pourrait être le suivant: qu'un nombre inférieur ou égal à trois est lancé sur un dé.

Au cas où l'événement se produirait, l'ensemble des résultats possibles est l'ensemble:

E = {1, 2, 3}

À son tour, il s'agit d'un sous-ensemble de l'espace ou de l'ensemble d'échantillons:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemples

Voici quelques exemples qui illustrent ce qui précède:

Exemple 1

Supposons que deux pièces soient lancées l'une après l'autre. On demande:

a) Indiquez s'il s'agit d'une expérience aléatoire ou, au contraire, d'une expérience déterministe.

b) Quel est l'espace échantillon S de cette expérience?

c) Indiquez l'ensemble de l'événement A, correspondant au fait que l'expérience se traduit par des têtes et des queues.

d) Calculez la probabilité que l'événement A se produise.

e) Enfin, trouvez la probabilité que l'événement B se produise: aucune tête n'apparaît dans le résultat.

Solution

Un sac contient 10 billes blanches et 10 billes noires. Trois billes consécutivement sont tirées du sac au hasard et sans regarder à l'intérieur.

a) Déterminez l'espace d'échantillonnage pour cette expérience aléatoire.

b) Déterminer l'ensemble des résultats correspondant à l'événement A, qui consiste à avoir deux billes noires après l'expérience.

c) L'événement B consiste à obtenir au moins deux billes noires, déterminer l'ensemble B de résultats pour cet événement.

d) Quelle est la probabilité que l'événement A se produise?

e) Trouvez la probabilité que l'événement B se produise.

f) Déterminez la probabilité que le résultat de l'expérience aléatoire soit que vous ayez au moins une bille noire. Cet événement s'appellera C.

Figure 2. Billes noires et blanches pour des expériences aléatoires. Source: Needpix.

Solution pour

Pour construire l'espace échantillon, il est utile de créer un diagramme arborescent, comme celui illustré à la figure 3:

Figure 3. Diagramme arborescent par exemple 2. Préparé par Fanny Zapata.

L'ensemble Ω des résultats possibles de l'extraction de trois billes d'un sac avec le même nombre de billes noires et blanches, est précisément l'espace échantillon de cette expérience aléatoire.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Solution b

L'ensemble des issues possibles correspondant à l'événement A, qui consiste à avoir deux billes noires est:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Solution c

L'événement B est défini comme: "avoir au moins deux billes noires après en avoir tiré au sort trois d'entre elles". L'ensemble des résultats possibles pour l'événement B est:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Solution d

La probabilité d'avoir l'événement A est le quotient entre le nombre de résultats possibles pour cet événement et le nombre total de résultats possibles, c'est-à-dire le nombre d'éléments dans l'espace d'échantillonnage.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Il y a donc une probabilité de 37,5% d'avoir deux billes noires après avoir tiré au hasard trois billes du sac. Mais notez que nous ne pouvons en aucun cas prédire le résultat exact de l'expérience.

Solution e

La probabilité que l'événement B se produise, consistant à obtenir au moins une bille noire est:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Cela signifie que la possibilité que l'événement B se produise est égale à la probabilité qu'il ne se produise pas.

Solution f

La probabilité d'obtenir au moins une bille noire, après en avoir tiré trois, est égale à 1 moins la probabilité que le résultat soit «les trois billes blanches».

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Maintenant, nous pouvons vérifier ce résultat, en notant que le nombre de possibilités que l'événement C se produit est égal au nombre d'éléments des résultats possibles pour l'événement C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Références

1. CanalPhi. Expérience aléatoire. Récupéré de: youtube.com.
2. MateMovil. Expérience aléatoire. Récupéré de: youtube.com
3. Pishro Nick H. Introduction à la probabilité. Récupéré de: probabilcourse.com
4. Ross. Probabilité et statistiques pour les ingénieurs. Mc-Graw Hill.
5. Wikipédia. Expérience (théorie des probabilités). Récupéré de: en.wikipedia.com
6. Wikipédia. Événement déterministe. Récupéré de: es. wikipedia.com
7. Wikipédia. Expérience aléatoire. Récupéré de: es.wikipedia.com