ÉVÉNEMENTS MUTUELLEMENT EXCLUSIFS: PROPRIÉTÉS ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

On dit que deux événements sont mutuellement exclusifs, lorsque les deux ne peuvent pas se produire simultanément à la suite d'une expérimentation. Ils sont également appelés événements incompatibles.

Par exemple, lorsque vous lancez un dé, les résultats possibles peuvent être séparés tels que: des nombres pairs ou impairs. Où chacun de ces événements exclut l'autre (un nombre pair et impair ne peut pas sortir à son tour).

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Revenant à l'exemple des dés, une seule face sera levée et nous obtiendrons une donnée entière entre un et six. Il s'agit d'un événement simple car il n'a qu'une seule possibilité de résultat. Tous les événements simples sont mutuellement exclusifs en n'admettant pas un autre événement comme possibilité.

Quels sont les événements mutuellement exclusifs?

Ils résultent d'opérations effectuées en théorie des ensembles, où des groupes d'éléments constitués en ensembles et sous-ensembles sont regroupés ou délimités selon des facteurs relationnels; Union (U), intersection (∩) et complément (') entre autres.

Ils peuvent être traités à partir de branches différentes (mathématiques, statistiques, probabilités et logique entre autres…) mais leur composition conceptuelle sera toujours la même.

Quels sont les événements?

Ce sont des possibilités et des événements issus de l'expérimentation, capables d'offrir des résultats à chacune de leurs itérations. Les événements génèrent les données à enregistrer en tant qu'éléments d'ensembles et de sous-ensembles, les tendances de ces données justifient l'étude de la probabilité.

Des exemples d'événements sont:

• La pièce pointait les têtes.
• Le match a abouti à un match nul.
• Le produit chimique a réagi en 1,73 seconde.
• La vitesse au point maximum était de 30 m / s.
• Le dé marquait le chiffre 4.

Deux événements mutuellement exclusifs peuvent également être considérés comme des événements complémentaires, s'ils couvrent l'espace d'échantillonnage avec leur union. Couvrant ainsi toutes les possibilités d'une expérience.

Par exemple, l'expérience basée sur le lancer d'une pièce a deux possibilités, face ou face, où ces résultats couvrent tout l'espace de l'échantillon. Ces événements sont incompatibles les uns avec les autres et en même temps sont collectivement exhaustifs.

Chaque élément double ou variable de type booléen fait partie d'événements mutuellement exclusifs, cette caractéristique étant la clé pour définir sa nature. L'absence de quelque chose régit son état, jusqu'à ce qu'il soit présent et ne soit plus absent. Les dualités du bien ou du mal, du bien et du mal fonctionnent selon le même principe. Où chaque possibilité est définie en excluant l'autre.

Propriétés des événements mutuellement exclusifs:

1. A ∩ B = B ∩ A = ∅
2. Si A = B 'sont des événements complémentaires et AUB = S (espace d'échantillonnage)
3. P (A ∩ B) = 0; La probabilité d'occurrence simultanée de ces événements est nulle

Des ressources telles que le diagramme de Venn facilitent grandement la classification des événements mutuellement exclusifs entre autres , car il permet de visualiser pleinement l'ampleur de chaque ensemble ou sous-ensemble.

Les ensembles qui n'ont pas d'événements communs ou qui sont simplement séparés seront considérés comme incompatibles et mutuellement exclusifs.

Exemple d'événements mutuellement exclusifs

Contrairement au lancer d'une pièce de monnaie, l'exemple suivant traite des événements d'une approche non expérimentale, afin de pouvoir identifier les modèles de logique propositionnelle dans les événements quotidiens.

• Le premier, composé d'hommes âgés de 5 à 10 ans, compte 8 participants.
• Le second, des femmes entre 5 et 10 ans, avec 8 participants.
• Le troisième, des hommes âgés de 10 à 15 ans, avec 12 participants.
• Le quatrième, des femmes âgées de 10 à 15 ans, avec 12 participants.
• Le cinquième, des hommes de 15 à 20 ans, compte 10 participants.
• Le sixième groupe, composé de femmes entre 15 et 20 ans, avec 10 participants.

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1. Échecs, un événement unique pour tous les participants, les deux sexes et tous les âges.
2. Gymkhana enfant, les deux sexes jusqu'à 10 ans. Un prix pour chaque sexe
3. Soccer féminin, de 10 à 20 ans. Un prix
4. Soccer masculin, pour les âges entre 10 et 20 ans. Un prix

• Espace échantillon: 60 participants
• Nombre d'itérations: 1
• Il n'exclut aucun module du camp.
• Les chances du participant sont de gagner le prix ou de ne pas le gagner. Cela rend chaque possibilité mutuellement exclusive pour tous les participants.
• Indépendamment des qualités individuelles des participants, la probabilité de succès de chacun est P (e) = 1/60.
• La probabilité que le gagnant soit un homme ou une femme est égale; P (v) = P (h) = 30/60 = 0,5 Ces événements étant mutuellement exclusifs et complémentaires.

• Espace échantillon: 18 participants
• Nombre d'itérations: 2
• Les troisième, quatrième, cinquième et sixième modules sont exclus de cet événement.
• Les premier et deuxième groupes sont complémentaires au sein du prix. Parce que l'union des deux groupes est égale à l'espace échantillon.
• Indépendamment des qualités individuelles des participants, la probabilité de réussite de chacun est P (e) = 1/8
• La probabilité d'avoir un gagnant masculin ou féminin est de 1 car un événement sera organisé pour chaque sexe.

• Espace échantillon: 22 participants
• Nombre d'itérations: 1
• Les premier, deuxième, troisième et cinquième modules sont exclus de cet événement.
• Indépendamment des qualités individuelles des participants, la probabilité de réussite de chacun est P (e) = 1/2
• La probabilité d'avoir un gagnant masculin est nulle.
• La probabilité d'avoir une femme gagnante est de un.

• Espace échantillon: 22 participants
• Nombre d'itérations: 1
• Les premier, deuxième, quatrième et sixième modules sont exclus de cet événement.
• Indépendamment des qualités individuelles des participants, la probabilité de réussite de chacun est P (e) = 1/2
• La probabilité d'avoir une femme gagnante est nulle.
• La probabilité d'avoir un gagnant masculin est de un.

Références

1. LE RÔLE DES MÉTHODES STATISTIQUES EN INFORMATIQUE ET EN BIOINFORMATIQUE. Irina Arhipova. Université d'agriculture de Lettonie, Lettonie.
2. Statistiques et évaluation des preuves pour les scientifiques légistes. Deuxième édition. Colin GG Aitken. École de mathématiques. L'Université d'Édimbourg, Royaume-Uni
3. THÉORIE DE BASE DES PROBABILITÉS, Robert B. Ash. Département de mathématiques. Université de l'Illinois
4. STATISTIQUES élémentaires. Dixième édition. Mario F. Triola. Boston St.
5. Mathématiques et ingénierie en informatique. Christopher J. Van Wyk. Institut d'informatique et de technologie. Bureau national des normes. Washington, DC 20234
6. Mathématiques pour l'informatique. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Département de mathématiques et Laboratoire d'informatique et d'intelligence artificielle, Massachussetts Institute of Technology; Technologies Akamai