ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE: FORMULE, PROPRIÉTÉS, EXEMPLES, EXERCICE - DUDAS - 2025

L' espérance mathématique ou la valeur attendue de la variable aléatoire X, est notée E (X) et est définie comme la somme du produit entre la probabilité qu'un événement aléatoire se produise et la valeur dudit événement.

Sous forme mathématique, il s'exprime comme suit:

Figure 1. L'espérance mathématique est largement utilisée en bourse et en assurance. Source: Pixabay.

Où x _i est la valeur de l'événement et P (x _i) sa probabilité d'occurrence. La sommation s'étend sur toutes les valeurs admises par X. Et si celles-ci sont finies, la somme indiquée converge vers la valeur E (X), mais si la somme ne converge pas, alors la variable n'a tout simplement pas de valeur attendue.

Lorsqu'il s'agit d'une variable continue x, la variable peut avoir des valeurs infinies et les intégrales remplacent les sommations:

Ici f (x) représente la fonction de densité de probabilité.

En général, l'espérance mathématique (qui est une moyenne pondérée) n'est pas égale à la moyenne ou moyenne arithmétique, à moins que nous ayons affaire à des distributions discrètes dans lesquelles chaque événement est également probable. Alors, et alors seulement:

Où n est le nombre de valeurs possibles.

Le concept est très utile sur les marchés financiers et les compagnies d'assurance, où les certitudes font souvent défaut mais les probabilités existent.

Propriétés de l'espérance mathématique

Parmi les propriétés les plus importantes de l'espérance mathématique, on distingue les suivantes:

- Signe: si X est positif, alors E (X) sera également positif.

- Valeur attendue d'une constante: la valeur attendue d'une constante réelle k est la constante.

- Linéarité dans la somme: l'espérance d'une variable aléatoire qui est elle-même la somme de deux variables X et Y est la somme des attentes.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Multiplication par une constante: si la variable aléatoire est de la forme kX, où k est une constante (un nombre réel), elle sort en dehors de la valeur attendue.

- Valeur attendue du produit et indépendance entre les variables: si une variable aléatoire est le produit des variables aléatoires X et Y, qui sont indépendantes, alors la valeur attendue du produit est le produit des valeurs attendues.

En général, si Y = g (X):

- Ordre en valeur attendue: si X ≤ Y, alors:

Puisqu'il y a les valeurs attendues de chacun d'eux.

L'espérance mathématique des paris

Lorsque le célèbre astronome Christian Huygens (1629-1695) n'observait pas le ciel, il se consacra à étudier, entre autres disciplines, la probabilité dans les jeux de hasard. C'est lui qui a introduit le concept d'espérance mathématique dans son ouvrage de 1656 intitulé: Raisonner les jeux de hasard.

Figure 2. Christiaan Huygens (1629-1625) était un scientifique brillant et polyvalent, à qui nous devons le concept de valeur attendue.

Huygens a constaté que les paris pouvaient être classés de trois manières, en fonction de la valeur attendue:

-Jeux avec avantage: E (X)> 0

- Paris équitables: E (X) = 0

-Jeu désavantagé: E (X) <0

Le problème est que dans un jeu de hasard, l'espérance mathématique n'est pas toujours facile à calculer. Et quand c'est possible, le résultat est parfois décevant pour ceux qui se demandent s'il faut miser ou non.

Essayons un pari simple: pile ou face et le perdant paie un café à 1 $. Quelle est la valeur attendue de ce pari?

Eh bien, la probabilité qu'une tête soit lancée est de ½, égale à une queue. La variable aléatoire est de gagner 1 $ ou de perdre 1 $, le gain est indiqué par le signe + et la perte par le signe -.

Nous organisons les informations dans un tableau:

On multiplie les valeurs des colonnes: 1. ½ = ½ et (-1). ½ = -½ et enfin les résultats sont ajoutés. La somme est de 0 et c'est un jeu équitable, dans lequel les participants ne devraient ni gagner ni perdre.

La roulette française et la loterie sont des jeux à handicap dans lesquels la plupart des parieurs perdent. Plus tard, il y a un pari légèrement plus complexe dans la section des exercices résolus.

Exemples

Voici quelques exemples simples où le concept d'espérance mathématique est intuitif et clarifie le concept:

Exemple 1

Nous commencerons par lancer un dé honnête. Quelle est la valeur attendue du lancement? Eh bien, si le dé est honnête et a 6 têtes, la probabilité que toute valeur (X = 1, 2, 3… 6) lancera est de 1/6, comme ceci:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figure 3. Dans le résultat d'un dé honnête, la valeur attendue n'est pas une valeur possible. Source: Pixabay.

La valeur attendue dans ce cas est égale à la moyenne, puisque chaque visage a la même probabilité de sortir. Mais E (X) n'est pas une valeur possible, car aucune tête ne vaut 3,5. Ceci est parfaitement possible dans certaines distributions, bien que dans ce cas le résultat n'aide pas beaucoup le parieur.

Regardons un autre exemple avec le tirage au sort de deux pièces.

Exemple 2

Deux pièces honnêtes sont lancées en l'air et nous définissons la variable aléatoire X comme le nombre de têtes qui sont roulées. Les événements qui peuvent survenir sont les suivants:

-Aucune tête ne monte: 0 tête qui équivaut à 2 queues.

-Il sort 1 tête et 1 timbre ou queues.

-Deux visages sortent.

Soit C une tête et T un sceau, l'espace échantillon qui décrit ces événements est le suivant:

S _m = {Sceau-Sceau; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Les probabilités que les événements se produisent sont:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Le tableau est construit avec les valeurs obtenues:

Selon la définition donnée au début, l'espérance mathématique est calculée comme suit:

Substituer les valeurs:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Ce résultat est interprété comme suit: si une personne a suffisamment de temps pour faire un grand nombre d'expériences en lançant les deux pièces, on s'attend à ce qu'elle obtienne une tête à chaque tirage.

Cependant, nous savons que les sorties avec 2 labels sont parfaitement possibles.

Exercice résolu

Dans le tirage au sort de deux pièces honnêtes, le pari suivant est fait: si 2 têtes sortent vous gagnez 3 $, si 1 tête sort vous gagnez 1 $, mais si deux timbres sortent, vous devez payer 5 $. Calculez la victoire attendue du pari.

Figure 4. En fonction du pari, l'attente mathématique change lorsque vous lancez deux pièces honnêtes. Source: Pixabay.

Solution

La variable aléatoire X est les valeurs que l'argent prend dans le pari et les probabilités ont été calculées dans l'exemple précédent, donc le tableau du pari est:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Comme la valeur attendue est de 0, c'est un jeu équitable, donc ici le parieur ne devrait pas gagner et ne pas perdre non plus. Cependant, les montants des mises peuvent être modifiés pour faire du pari un jeu à handicap ou un jeu à handicap.

Références

1. Brase, C. 2009. Statistiques compréhensibles. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introduction au concept de valeur attendue ou d'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Récupéré de: personal.us.es.
3. Statistiques LibreTexts. Valeur attendue des variables aléatoires discrètes. Récupéré de: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Statistiques élémentaires. 11ème. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probabilité et statistiques pour la science et l'ingénierie. 8ème. Édition. Pearson Education.