CONSTANTE D'INTÉGRATION: SIGNIFICATION, CALCUL ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

La constante d'intégration est une valeur ajoutée au calcul des primitives ou intégrales, elle sert à représenter les solutions qui composent la primitive d'une fonction. Il exprime une ambiguïté inhérente où toute fonction a un nombre infini de primitives.

Par exemple, si nous prenons la fonction: f (x) = 2x + 1 et que nous obtenons sa primitive:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C; Où C est la constante d'intégration et représente graphiquement la translation verticale entre les possibilités infinies de la primitive. Il est correct de dire que (x ² + x) est l' une des primitives de f (x).

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De même, nous pouvons définir (x ² + x + C) comme la primitive de f (x).

Propriété inversée

On peut noter que lors de la dérivation de l'expression (x ² + x), on obtient la fonction f (x) = 2x + 1. Ceci est dû à la propriété inverse existant entre la dérivation et l'intégration des fonctions. Cette propriété permet d'obtenir des formules d'intégration à partir de la différenciation. Ce qui permet la vérification des intégrales via les mêmes dérivées.

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Cependant (x ² + x) n'est pas la seule fonction dont la dérivée est égale à (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C) / dx = 2x + 1

Où 1, 2, 3 et 4 représentent des primitives particulières de f (x) = 2x + 1. Alors que 5 représente l'intégrale indéfinie ou primitive de f (x) = 2x + 1.

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Les primitives d'une fonction sont obtenues par le processus d'antidérivation ou intégrale. Où F sera une primitive de f si ce qui suit est vrai

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = constante d'intégration
• F '(x) = f (x)

On voit qu'une fonction a une seule dérivée, contrairement à ses infinies primitives résultant de l'intégration.

L'intégrale indéfinie

∫ f (x) dx = F (x) + C

Il correspond à une famille de courbes avec le même motif, qui éprouvent une incongruité dans la valeur des images de chaque point (x, y). Chaque fonction qui remplit ce modèle sera une primitive individuelle et l'ensemble de toutes les fonctions est connu comme une intégrale indéfinie.

La valeur de la constante d'intégration sera celle qui différencie chaque fonction en pratique.

La constante d'intégration suggère un décalage vertical dans tous les graphes représentant les primitives d'une fonction. Où le parallélisme entre eux est observé, et le fait que C est la valeur du déplacement.

Selon les pratiques courantes, la constante d'intégration est désignée par la lettre «C» après un addend, bien qu'en pratique peu importe si la constante est ajoutée ou soustraite. Sa valeur réelle peut être trouvée de diverses manières dans différentes conditions initiales.

Autres significations de la constante d'intégration

On a déjà discuté comment la constante d'intégration est appliquée dans la branche du calcul intégral; Représentant une famille de courbes qui définissent l'intégrale indéfinie. Mais de nombreuses autres sciences et branches ont attribué des valeurs très intéressantes et pratiques à la constante d'intégration, qui ont facilité le développement de multiples études.

En physique, la constante d'intégration peut prendre plusieurs valeurs selon la nature des données. Un exemple très courant est la connaissance de la fonction V (t) qui représente la vitesse d'une particule en fonction du temps t. On sait que lors du calcul d'une primitive de V (t), on obtient la fonction R (t) qui représente la position de la particule en fonction du temps.

La constante d'intégration représentera la valeur de la position initiale, c'est-à-dire au temps t = 0.

De la même manière, si la fonction A (t) qui représente l' accélération de la particule en fonction du temps est connue. La primitive de A (t) donnera la fonction V (t), où la constante d'intégration sera la valeur de la vitesse initiale V ₀.

En économie, en obtenant par intégration la primitive d'une fonction de coût. La constante d'intégration représentera les coûts fixes. Et tant d'autres applications qui méritent un calcul différentiel et intégral.

Comment la constante d'intégration est-elle calculée?

Pour calculer la constante d'intégration, il faudra toujours connaître les conditions initiales. Lesquels sont chargés de définir laquelle des primitives possibles est la primitive correspondante.

Dans de nombreuses applications, elle est traitée comme une variable indépendante au temps (t), où la constante C prend les valeurs qui définissent les conditions initiales du cas particulier.

Si nous prenons l'exemple initial: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Une condition initiale valide peut être de conditionner que le graphique passe par une coordonnée spécifique. Par exemple, on sait que la primitive (x ² + x + C) passe par le point (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; c'est la solution générale

F (1) = 2

Nous substituons la solution générale à cette égalité

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

D'où il suit facilement que C = 0

De cette façon, la primitive correspondante pour ce cas est F (x) = x ² + x

Il existe plusieurs types d'exercices numériques qui fonctionnent avec des constantes d'intégration. En fait, le calcul différentiel et intégral ne cesse d'être appliqué dans les enquêtes actuelles. À différents niveaux académiques, ils peuvent être trouvés; du calcul initial, en passant par la physique, la chimie, la biologie, l'économie, entre autres.

Il est également apprécié dans l'étude des équations différentielles, où la constante d'intégration peut prendre différentes valeurs et solutions, ceci en raison des multiples dérivations et intégrations qui sont effectuées dans ce domaine.

Exemples

Exemple 1

1. Un canon situé à 30 mètres de haut tire un projectile verticalement vers le haut. La vitesse initiale du projectile est connue pour être de 25 m / s. Décider:

• La fonction qui définit la position du projectile par rapport au temps.
• Le temps de vol ou l'instant du temps où la particule touche le sol.

On sait que dans un mouvement rectiligne uniformément varié, l'accélération est une valeur constante. C'est le cas du lancement du projectile, où l'accélération sera gravitationnelle

g = - 10 m / s ²

On sait également que l'accélération est la dérivée seconde de la position, ce qui indique une double intégration dans la résolution de l'exercice, obtenant ainsi deux constantes d'intégration.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Les conditions initiales de l'exercice indiquent que la vitesse initiale est V ₀ = 25 m / s. C'est la vitesse à l'instant t = 0. De cette façon, on vérifie que:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ et C ₁ = 25

Avec la fonction de vitesse définie

V (t) = -10t + 25; La similitude peut être observée avec la formule MRUV (V _f = V ₀ + axt)

De manière homologue, nous procédons à l'intégration de la fonction de vitesse pour obtenir l'expression qui définit la position:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (primitive de position)

La position initiale R (0) = 30 m est connue. Ensuite, la primitive particulière du projectile est calculée.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂. Où C ₂ = 30

Exemple 2

1. Trouvez la primitive f (x) qui satisfait les conditions initiales:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Avec l'information de la deuxième dérivée f '' (x) = 4, le processus d'antidérivation commence

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Alors, connaissant la condition f '(2) = 2, on procède:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 et f '(x) = 4x - 8

On procède de la même manière pour la deuxième constante d'intégration

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

La condition initiale f (0) = 7 est connue et on procède:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 et f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ²; f '(0) = 6; f (0) = 3

De manière similaire au problème précédent, nous définissons les premières dérivées et la fonction d'origine à partir des conditions initiales.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ²) dx = (x ^trois / 3) + C ₁

Avec la condition f '(0) = 6 on procède:

(0 ^3/3) + C ₁ = 6; Où C ₁ = 6 f « (x) = (x ^trois / 3) + 6

Puis la deuxième constante d'intégration

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ^quatre / 12) + 6x + C ₂

La condition initiale f (0) = 3 est connue et on procède:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Où C ₂ = 3

On obtient ainsi le particulier primitif

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Exemple 3

1. Définissez les fonctions primitives à partir des dérivées et d'un point sur le graphe:

• dy / dx = 2x - 2 qui passe par le point (3, 2)

Il est important de se rappeler que les dérivées font référence à la pente de la ligne tangente à la courbe en un point donné. Là où il n'est pas correct de supposer que le graphe de la dérivée touche le point indiqué, puisqu'il appartient au graphe de la fonction primitive.

De cette façon, nous exprimons l'équation différentielle comme suit:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Application de la condition initiale:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

On obtient: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 passant par le point (0, 2)

Nous exprimons l'équation différentielle comme suit:

Application de la condition initiale:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

On obtient: f (x) = x ³ - x + 2

Exercices proposés

Exercice 1

1. Trouvez la primitive f (x) qui satisfait les conditions initiales:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Exercice 2

1. Un ballon qui monte à une vitesse de 16 pieds / s laisse tomber un sac de sable d'une hauteur de 64 pieds au-dessus du niveau du sol.

• Définir le temps de vol
• Quel sera le vecteur V _f lorsqu'il touchera le sol?

Exercice 3

1. La figure montre le graphique du temps d'accélération d'une voiture se déplaçant dans la direction positive de l'axe des x. La voiture roulait à une vitesse constante de 54 km / h lorsque le conducteur a appliqué les freins pour s'arrêter en 10 secondes. Déterminer:

• L'accélération initiale de la voiture
• La vitesse de la voiture à t = 5s
• Le déplacement de la voiture lors du freinage

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Exercice 4

1. Définissez les fonctions primitives à partir des dérivées et d'un point sur le graphe:

• dy / dx = x qui passe par le point (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 qui passe par le point (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 qui passe par le point (-2, 2)

Références

1. Calcul intégral. Les méthodes intégrales et d'intégration indéfinies. Wilson, Velásquez Bastidas. Université Magdalena 2014
2. Stewart, J. (2001). Calcul d'une variable. Premiers transcendantaux. Mexique: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Mathématiques VI. Calcul intégral. Mexique: Pearson Education.
4. Physique I. Mc Graw Hill