ENSEMBLE INFINI: PROPRIÉTÉS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

On entend par ensemble infini l'ensemble dans lequel le nombre de ses éléments est indénombrable. Autrement dit, quel que soit le nombre de ses éléments, il est toujours possible d'en trouver plus.

L'exemple le plus commun est l'ensemble infini de nombres naturels N. Peu importe la taille du nombre, car vous pouvez toujours en obtenir un plus grand dans un processus qui n'a pas de fin:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Figure 1. Symbole de l'infini. (pixabay)

L'ensemble des étoiles de l'univers est certainement immense, mais on ne sait pas avec certitude s'il est fini ou infini. Contrairement au nombre de planètes du système solaire qui est connu pour être un ensemble fini.

Propriétés de l'ensemble infini

Parmi les propriétés des ensembles infinis, nous pouvons souligner les suivantes:

1- L'union de deux ensembles infinis donne naissance à un nouvel ensemble infini.

2- L'union d'un ensemble fini avec un infini donne naissance à un nouvel ensemble infini.

3- Si le sous-ensemble d'un ensemble donné est infini, alors l'ensemble d'origine est également infini. La déclaration réciproque n'est pas vraie.

Vous ne pouvez pas trouver un nombre naturel capable d'exprimer la cardinalité ou le nombre d'éléments d'un ensemble infini. Cependant, le mathématicien allemand Georg Cantor a introduit le concept d'un nombre transfini pour désigner un ordinal infini supérieur à tout nombre naturel.

Exemples

Le N naturel

L'exemple le plus fréquent d'un ensemble infini est celui des nombres naturels. Les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés pour compter, cependant les nombres entiers qui peuvent exister sont indénombrables.

L'ensemble des nombres naturels n'inclut pas zéro et est communément désigné comme l'ensemble N, qui sous forme extensive s'exprime comme suit:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Et est clairement un ensemble infini.

Une ellipse est utilisée pour indiquer qu'après un nombre, un autre suit puis un autre dans un processus sans fin ou sans fin.

L'ensemble des nombres naturels joints à l'ensemble qui contient le nombre zéro (0) est appelé ensemble N +.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Qui est le résultat de l'union de l'ensemble infini N avec l'ensemble fini O = {0}, résultant en l'ensemble infini N +.

Les entiers Z

L'ensemble des entiers Z est composé de nombres naturels, de nombres naturels avec un signe négatif et zéro.

Les entiers Z sont considérés comme une évolution par rapport aux nombres naturels N utilisés à l'origine et primitivement dans le processus de comptage.

Dans l'ensemble numérique Z d'entiers, zéro est incorporé pour ne compter ou ne compter rien et des nombres négatifs pour compter l'extraction, la perte ou l'absence de quelque chose.

Pour illustrer l'idée, supposons qu'un solde négatif apparaisse sur le compte bancaire. Cela signifie que le compte est en dessous de zéro et ce n'est pas seulement que le compte est vide mais qu'il a une différence manquante ou négative, qui doit en quelque sorte être remplacée par la banque.

Sous forme extensive, l'ensemble infini Z d'entiers s'écrit comme ceci:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

Les rationnels Q

Dans l'évolution du processus de comptage et d'échange de choses, de biens ou de services, apparaissent des nombres fractionnaires ou rationnels.

Par exemple, lors de l'échange d'un demi-pain avec deux pommes, au moment de l'enregistrement de la transaction, quelqu'un s'est rendu compte que la moitié devait être écrite comme une pièce divisée ou divisée en deux parties: ½. Mais la moitié de la moitié du pain serait inscrite dans les registres comme suit: ½ / ½ = ¼.

Il est clair que ce processus de division peut être sans fin en théorie, bien qu'en pratique il le soit jusqu'à ce que la dernière particule de pain soit atteinte.

L'ensemble des nombres rationnels (ou fractionnaires) est noté comme suit:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

Les points de suspension entre les deux nombres entiers signifient qu'entre ces deux nombres ou valeurs, il y a des partitions ou divisions infinies. C'est pourquoi on dit que l'ensemble des nombres rationnels est infiniment dense. En effet, quelle que soit la proximité de deux nombres rationnels l'un par rapport à l'autre, des valeurs infinies peuvent être trouvées.

Pour illustrer ce qui précède, supposons que l'on nous demande de trouver un nombre rationnel entre 2 et 3. Ce nombre peut être 2⅓, ce que l'on appelle un nombre mixte composé de 2 parties entières plus un tiers de l'unité, qui est équivalent à l'écriture 4/3.

Entre 2 et 2⅓ une autre valeur peut être trouvée, par exemple 2⅙. Et entre 2 et 2⅙ une autre valeur peut être trouvée, par exemple 2⅛. Entre ces deux un autre, et entre eux un autre, un autre et un autre.

Figure 2. Divisions infinies en nombres rationnels. (wikimedia commons)

Nombres irrationnels I

Il y a des nombres qui ne peuvent pas être écrits comme une division ou une fraction de deux nombres entiers. C'est cet ensemble numérique que l'on appelle l'ensemble I des nombres irrationnels et c'est aussi un ensemble infini.

Certains éléments notables ou représentants de cet ensemble numérique sont le nombre pi (π), le nombre d'Euler (e), le nombre d'or ou le nombre d'or (φ). Ces nombres ne peuvent être écrits grossièrement que par un nombre rationnel:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (et continue jusqu'à l'infini et au-delà…)

e = 2,7182818284590452353602874713527 ……. (et continue au-delà de l'infini…)

φ = 1,61803398874989484820 …….. (à l'infini….. et au-delà…..)

D'autres nombres irrationnels apparaissent en essayant de trouver des solutions à des équations très simples, par exemple l'équation X ^ 2 = 2 n'a pas de solution rationnelle exacte. La solution exacte est exprimée par la symbologie suivante: X = √2, qui se lit x égal à la racine de deux. Une expression rationnelle approximative (ou décimale) pour √2 est:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Il existe d'innombrables nombres irrationnels, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) pour n'en nommer que quelques-uns.

L'ensemble des réels R

Les nombres réels sont l'ensemble de nombres le plus souvent utilisé dans le calcul mathématique, la physique et l'ingénierie. Cet ensemble de nombres est l'union des nombres rationnels Q et des nombres irrationnels I:

R = Q U I

Infini supérieur à l'infini

Parmi les ensembles infinis, certains sont plus grands que d'autres. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels N est infini, mais est un sous - ensemble des nombres entiers Z qui est ensemble infini, donc infinie Z est supérieur à l'ensemble infini N.

De même, l'ensemble des entiers Z est un sous - ensemble des nombres réels R, et par conséquent l'ensemble R est « infini » l'ensemble infini Z.

Références

1. Celeberrima. Exemples d'ensembles infinis. Récupéré de: celeberrima.com
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8. Sullivan, J. (2006). Algèbre et trigonométrie. Pearson Education.
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