- Comment trouver l'aire d'un pentagone?
- Aire d'un pentagone régulier
- Aire d'un pentagone irrégulier
- Déterminant gaussien
- Références
L' aire d'un pentagone est calculée à l' aide d'une méthode connue sous le nom de triangulation, qui peut être appliquée à n'importe quel polygone. Cette méthode consiste à diviser le pentagone en plusieurs triangles.
Après cela, l'aire de chaque triangle est calculée et enfin toutes les aires trouvées sont ajoutées. Le résultat sera la zone du pentagone.
Le pentagone pourrait également être divisé en d'autres formes géométriques, telles qu'un trapèze et un triangle, comme la figure de droite.
Le problème est que la longueur de la plus grande base et la hauteur du trapèze ne sont pas faciles à calculer. De plus, la hauteur du triangle rouge doit être calculée.
Comment trouver l'aire d'un pentagone?
La méthode générale pour calculer l'aire d'un pentagone est la triangulation, mais la méthode peut être simple ou un peu plus longue selon que le pentagone est régulier ou non.
Aire d'un pentagone régulier
Avant de calculer la superficie, il est nécessaire de savoir ce qu'est l'apothème.
L'apothème d'un pentagone régulier (polygone régulier) est la plus petite distance entre le centre du pentagone (polygone) et le milieu d'un côté du pentagone (polygone).
En d'autres termes, l'apothème est la longueur du segment de ligne qui va du centre du pentagone au milieu d'un côté.
Considérons un pentagone régulier tel que la longueur de ses côtés soit "L". Pour calculer son apothème, divisez d'abord l'angle central α par le nombre de côtés, c'est-à-dire α = 360º / 5 = 72º.
Maintenant, en utilisant les rapports trigonométriques, la longueur de l'apothème est calculée comme indiqué dans l'image suivante.
Par conséquent, l'apothème a une longueur de L / 2tan (36 °) = L / 1,45.
En triangulant le pentagone, on obtiendra un chiffre comme celui ci-dessous.
Les 5 triangles ont la même aire (pour être un pentagone régulier). Par conséquent, l'aire du pentagone est 5 fois l'aire d'un triangle. Soit: aire d'un pentagone = 5 * (L * ap / 2).
En substituant la valeur de l'apothème, nous obtenons que l'aire est A = 1,72 * L².
Par conséquent, pour calculer l'aire d'un pentagone régulier, il vous suffit de connaître la longueur d'un côté.
Aire d'un pentagone irrégulier
On part d'un pentagone irrégulier, tel que les longueurs de ses côtés sont L1, L2, L3, L4 et L5. Dans ce cas, l'apothème ne peut pas être utilisé tel qu'avant.
Après avoir effectué la triangulation, une figure comme celle-ci est obtenue:
Nous procédons maintenant au dessin et au calcul des hauteurs de ces 5 triangles intérieurs.
Ainsi, les aires des triangles intérieurs sont T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 et T5 = L5 * h5 / 2.
Les valeurs de h1, h2, h3, h4 et h5 sont respectivement les hauteurs de chaque triangle.
Enfin l'aire du pentagone est la somme de ces 5 aires. Autrement dit, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Comme vous pouvez le voir, calculer l'aire d'un pentagone irrégulier est plus complexe que calculer l'aire d'un pentagone régulier.
Déterminant gaussien
Il existe également une autre méthode par laquelle la surface de tout polygone irrégulier peut être calculée, connue sous le nom de déterminant gaussien.
Cette méthode consiste à dessiner le polygone sur le plan cartésien, puis les coordonnées de chaque sommet sont calculées.
Les sommets sont énumérés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et enfin certains déterminants sont calculés pour finalement obtenir l'aire du polygone en question.
Références
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