APPROXIMATION PAR DÉFAUT ET EXCÈS: QU'EST-CE QUE C'EST ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

L' approximation sous et sur est une méthode numérique utilisée pour établir la valeur d'un nombre selon différentes échelles de précision. Par exemple, le nombre 235 623, est proche de 235,6 par défaut et 235,7 par excès. Si nous considérons les dixièmes comme une borne d'erreur.

L'approximation consiste à remplacer une figure exacte par une autre, où ledit remplacement devrait faciliter les opérations d'un problème mathématique, en préservant la structure et l'essence du problème.

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A ≈B

Ça se lit; A B approximative. Où "A" représente la valeur exacte et "B" la valeur approximative.

Chiffres significatifs

Les valeurs avec lesquelles un nombre approximatif est défini sont appelées chiffres significatifs. Dans l'approximation de l'exemple, quatre chiffres significatifs ont été retenus. La précision d'un nombre est donnée par le nombre de chiffres significatifs qui le définissent.

Les zéros infinis qui peuvent être situés à la fois à droite et à gauche du nombre ne sont pas considérés comme des chiffres significatifs. L'emplacement de la virgule ne joue aucun rôle dans la définition des chiffres significatifs d'un nombre.

750385

…. 00.0075038500….

75.038500000…..

750385000…..

….. 000007503850000…..

En quoi cela consiste-t-il?

La méthode est assez simple; choisissez la limite d'erreur, qui n'est rien d'autre que la plage numérique dans laquelle vous souhaitez effectuer la coupe. La valeur de cette plage est directement proportionnelle à la marge d'erreur du nombre approximatif.

Dans l'exemple ci-dessus, 235 623 possède des millièmes (623). Ensuite, l'approximation aux dixièmes a été faite. La valeur excédentaire (235,7) correspond à la valeur la plus significative en dixièmes immédiatement après le nombre d'origine.

En revanche, la valeur par défaut (235,6) correspond à la valeur la plus proche et la plus significative en dixièmes avant le nombre d'origine.

L'approximation numérique est assez courante dans la pratique avec les nombres. D'autres méthodes largement utilisées sont l' arrondi et la troncature; qui répondent à différents critères pour attribuer les valeurs.

La marge d'erreur

Lors de la définition de la plage numérique que le nombre couvrira après avoir été approximé, nous définissons également la limite d'erreur qui accompagne la figure. Cela sera indiqué par un nombre rationnel existant ou significatif dans la plage attribuée.

Dans l'exemple initial, les valeurs définies par excès (235,7) et par défaut (235,6) ont une erreur approximative de 0,1. Dans les études statistiques et probabilistes, 2 types d'erreurs sont traités par rapport à la valeur numérique; erreur absolue et erreur relative.

Balance

Les critères d'établissement des plages d'approximation peuvent être très variables et sont étroitement liés aux spécifications de l'élément à approximer. Dans les pays à forte inflation, les approximations excédentaires ignorent certaines fourchettes numériques, car elles sont inférieures à l'échelle inflationniste.

De cette façon, dans une inflation supérieure à 100% un vendeur n'ajustera pas un produit de 50 $ à 55 $ mais le rapprochera de 100 $, ignorant ainsi les unités et les dizaines en approchant directement la centaine.

Utiliser la calculatrice

Les calculatrices conventionnelles apportent avec elles le mode FIX, où l'utilisateur peut configurer le nombre de décimales qu'il souhaite recevoir dans ses résultats. Cela génère des erreurs qui doivent être prises en compte lors des calculs exacts.

Approximation des nombres irrationnels

Certaines valeurs largement utilisées dans les opérations numériques appartiennent à l'ensemble des nombres irrationnels, dont la principale caractéristique est d'avoir un nombre indéterminé de décimales.

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Des valeurs comme:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828…
• √2 = 1,414213562…

Ils sont courants en expérimentation et leurs valeurs doivent être définies dans une certaine plage, en tenant compte des erreurs éventuelles générées.

À quoi servent-ils?

Dans le cas de la division (1 ÷ 3), on observe par expérimentation, la nécessité d'établir une coupe dans le nombre d'opérations effectuées pour définir le nombre.

1 ÷ 3 = 0,333333……

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

Une opération est présentée qui peut être perpétuée indéfiniment, il est donc nécessaire de se rapprocher à un moment donné.

Dans le cas de:

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

Pour tout point établi comme marge d'erreur, un nombre inférieur à la valeur exacte de (1 ÷ 3) sera obtenu. De cette façon, toutes les approximations faites précédemment sont des approximations par défaut de (1 ÷ 3).

Exemples

Exemple 1

1. Lequel des nombres suivants est une approximation par défaut de 0,0127

• 0,13
• 0,012; Il s'agit d'une approximation par défaut de 0,0127
• 0,01; Il s'agit d'une approximation par défaut de 0,0127
• 0,0128

Exemple 2

1. Lequel des nombres suivants est une approximation excessive de 23435

• 24; est une approximation par excès de 23 435
• 23,4
• 23,44; est une approximation par excès de 23 435
• 23,5; est une approximation par excès de 23 435

Exemple 3

1. Définissez les nombres suivants en utilisant une approximation par défaut, avec la limite d'erreur spécifiée.

• 547.2648…. Pour les millièmes, centièmes et dizaines.

Millièmes: Les millièmes correspondent aux 3 premiers chiffres après la virgule, après 999 l'unité. Nous procédons à environ 547 264.

Centièmes: désignés par les 2 premiers chiffres après la virgule, les centièmes doivent se rencontrer, 99 pour atteindre l'unité. De cette façon, il approche 547,26 par défaut .

Tens: Dans ce cas, la borne d'erreur est beaucoup plus élevée, car la plage de l'approximation est définie dans les nombres entiers. Lorsque vous vous approchez par défaut dans les dix, vous obtenez 540.

Exemple 4

1. Définissez les nombres suivants en utilisant une approximation excessive, avec la limite d'erreur spécifiée.

• 1204,27317 Pour des dixièmes, des centaines et des unités.

Dixièmes: fait référence au premier chiffre après la virgule, où l'unité est composée après 0,9. Approcher les dixièmes en excès donne 1204,3.

Centaines: Encore une fois, une borne d'erreur est observée dont la plage est comprise dans les nombres entiers de la figure. Approximer les centaines par excès donne 1300. Ce chiffre est considérablement différent de 1204,27317. Pour cette raison, les approximations ne sont généralement pas appliquées aux valeurs entières.

Unités: En s'approchant excessivement de l'unité, on obtient 1205.

Exemple 5

1. Une couturière coupe une longueur de tissu de 135,3 cm de long pour faire un drapeau de 7855 cm ². Combien mesurera l'autre côté si vous utilisez une règle conventionnelle qui marque jusqu'à millimètres.

Approximer les résultats par excès et défaut.

La zone du drapeau est rectangulaire et est définie par:

A = côté x côté

côté = A / côté

côté = 7855cm ² / 135,3cm

côté = 58,05617147 cm

Grâce à l'appréciation de la règle, nous pouvons obtenir des données allant jusqu'à des millimètres, ce qui correspond à la plage de décimales par rapport au centimètre.

Ainsi 58cm est une approximation par défaut.

Alors que 58,1 est une approximation excessive.

Exemple 6

1. Définissez 9 valeurs qui peuvent être des nombres exacts dans chacune des approximations:

• 34071 résultats d'environ millièmes par défaut

34,07124 34,07108 34,07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 correspond à des millièmes approximatifs par défaut

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 résulte de l'approximation des dixièmes par excès

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23 833 23,84 23 80004

• 58,37 est le résultat d'approximativement centièmes par excès

58,3605 58,36001 58,36065

58,3655 58,362 58,363

58,3623 58,361 58,3634

Exemple 7

1. Approcher chaque nombre irrationnel selon la borne d'erreur indiquée:

• π = 3,141592654….

Millièmes par défaut π = 3,141

Millièmes par excès π = 3,142

Centièmes par défaut π = 3,14

Centièmes en excès π = 3,15

Dixièmes par défaut π = 3,1

Dixièmes par excès π = 3,2

• e = 2,718281828…

Millièmes par défaut e = 2,718

Millièmes par excès e = 2,719

Centièmes par défaut e = 2,71

Centièmes en excès e = 2,72

Dixièmes par défaut e = 2,7

Dixièmes par excès e = 2,8

• √2 = 1,414213562…

Millièmes par défaut √2 = 1,414

Millièmes par excès √2 = 1,415

Centièmes par défaut √2 = 1,41

Centièmes en excès √2 = 1,42

Dixièmes par défaut √2 = 1,4

Dixièmes par excès √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,33333333…..

Millièmes par défaut 1 ÷ 3 = 0,332

Millièmes de plus 1 ÷ 3 = 0,334

Centièmes par défaut 1 ÷ 3 = 0,33

Centièmes supérieurs à 1 ÷ 3 = 0,34

Dixièmes par défaut 1 ÷ 3 = 0,3

Dixièmes par excès 1 ÷ 3 = 0,4

Références

1. Problèmes en analyse mathématique. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Université de Wroclaw. Pologne.
2. Introduction à la logique et à la méthodologie des sciences déductives. Alfred Tarski, New York Oxford. Presse de l'Université d'Oxford.
3. The Arithmetic Teacher, Volume 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. Université du Michigan.
4. Apprentissage et enseignement de la théorie des nombres: recherche en cognition et instruction / édité par Stephen R. Campbell et Rina Zazkis. Ablex publiant 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.