ANTIDÉRIVÉ: FORMULES ET ÉQUATIONS, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

Une primitive F (x) d'une fonction f (x) est aussi appelée primitive ou simplement l'intégrale indéfinie de ladite fonction, si dans un intervalle I donné, il est satisfait que F´ (x) = f (x)

Par exemple, prenons la fonction suivante:

f (x) = 4x ³

Une primitive de cette fonction est F (x) = x ⁴, car lors de la différenciation de F (x) en utilisant la règle de dérivation pour les puissances:

On obtient précisément f (x) = 4x ³.

Cependant, ce n'est qu'une des nombreuses primitives de f (x), puisque cette autre fonction: G (x) = x ⁴ + 2 l'est aussi, car en différenciant G (x) par rapport à x, on obtient la même chose retour f (x).

Regardons ça:

N'oubliez pas que la dérivée d'une constante est 0. Par conséquent, nous pouvons ajouter n'importe quelle constante au terme x ⁴ et sa dérivée restera 4x ³.

On en conclut que toute fonction de la forme générale F (x) = x ⁴ + C, où C est une constante réelle, sert de primitive de f (x).

L'exemple illustratif ci-dessus peut être exprimé comme ceci:

dF (x) = 4x ³ dx

L'intégrale primitive ou indéfinie est exprimée avec le symbole ∫, donc:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Où la fonction f (x) = 4x ³ est appelée l'intégrande, et C est la constante d'intégration.

Exemples de primitifs

Figure 1. La primitive n'est rien de plus qu'une intégrale indéfinie. Source: Pixabay.

Trouver une primitive d'une fonction est simple dans certains cas où les dérivés sont bien connus. Par exemple, soit la fonction f (x) = sin x, une primitive car c'est une autre fonction F (x), de telle sorte qu'en la différenciant on obtient f (x).

Cette fonction peut être:

F (x) = - cos x

Vérifions que c'est vrai:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

On peut donc écrire:

∫sen x dx = -cos x + C

En plus de connaître les dérivées, il existe quelques règles d'intégration de base et simples pour trouver l'intégrale primitive ou indéfinie.

Soit k une constante réelle, alors:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Si une fonction h (x) peut être exprimée comme l'addition ou la soustraction de deux fonctions, alors son intégrale indéfinie est:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

C'est la propriété de la linéarité.

La règle des puissances pour les intégrales peut être établie de cette manière:

Pour le cas de n = -1, la règle suivante est utilisée:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Il est facile de montrer que la dérivée de ln x est précisément x ^-1.

Équations différentielles

Une équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnu se trouve sous la forme d'un dérivé.

Or, à partir de l'analyse précédente, il est facile de se rendre compte que l'opération inverse à la dérivée est l'intégrale primitive ou indéfinie.

Soit f (x) = y´ (x), c'est-à-dire la dérivée d'une certaine fonction. Nous pouvons utiliser la notation suivante pour indiquer cette dérivée:

Il s'ensuit immédiatement que:

L'inconnue de l'équation différentielle est la fonction y (x), celle dont la dérivée est f (x). Pour le résoudre, l'expression précédente est intégrée des deux côtés, ce qui équivaut à appliquer la primitive:

L'intégrale de gauche est résolue par la règle d'intégration 1, avec k = 1, résolvant ainsi l'inconnue souhaitée:

Et puisque C est une constante réelle, pour savoir laquelle est appropriée dans chaque cas, l'instruction doit contenir suffisamment d'informations supplémentaires pour calculer la valeur de C. C'est ce qu'on appelle la condition initiale.

Nous verrons des exemples d'application de tout cela dans la section suivante.

Exercices primitifs

- Exercice 1

Appliquez les règles d'intégration pour obtenir les primitives ou intégrales indéfinies suivantes des fonctions données, en simplifiant autant que possible les résultats. Il est pratique de vérifier le résultat par dérivation.

Figure 2. Exercices des primitifs ou des intégrales définies. Source: Pixabay.

Solution pour

Nous appliquons d'abord la règle 3, puisque l'intégrale est la somme de deux termes:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Pour la première intégrale, la règle de puissance s'applique:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Dans la deuxième règle intégrale, 1 est appliqué, où k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Et maintenant, les résultats sont ajoutés. Les deux constantes sont regroupées en une seule, appelée génériquement C:

∫ (x + 7) dx = (x ² + 7x + C / 2)

Solution b

Par linéarité, cette intégrale est décomposée en trois intégrales plus simples, auxquelles la règle de puissance sera appliquée:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Notez qu'une constante d'intégration apparaît pour chaque intégrale, mais elles se rencontrent en un seul appel C.

Solution c

Dans ce cas, il convient d'appliquer la propriété distributive de multiplication pour développer l'intégrale. Ensuite, la règle de puissance est utilisée pour trouver chaque intégrale séparément, comme dans l'exercice précédent.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Le lecteur attentif notera que les deux termes centraux sont similaires, donc ils sont réduits avant l'intégration:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Solution e

Une façon de résoudre l'intégrale serait de développer la puissance, comme cela a été fait dans l'exemple d. Cependant, comme l'exposant est plus élevé, il serait conseillé de changer la variable, afin de ne pas avoir à faire un développement aussi long.

Le changement de variable est le suivant:

u = x + 7

Dériver cette expression des deux côtés:

du = dx

L'intégrale est transformée en une plus simple avec la nouvelle variable, qui est résolue avec la règle de puissance:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Enfin, la modification est renvoyée pour revenir à la variable d'origine:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Exercice 2

Une particule est initialement au repos et se déplace le long de l'axe des x. Son accélération pour t> 0 est donnée par la fonction a (t) = cos t. On sait qu'à t = 0, la position est x = 3, le tout en unités du système international. Il est demandé de trouver la vitesse v (t) et la position x (t) de la particule.

Solution

Puisque l'accélération est la première dérivée de la vitesse par rapport au temps, nous avons l'équation différentielle suivante:

a (t) = v´ (t) = cos t

Il s'ensuit que:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Par contre, on sait que la vitesse est à son tour la dérivée de la position, donc on réintègre:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Les constantes d'intégration sont déterminées à partir des informations données dans la déclaration. En premier lieu, il dit que la particule était initialement au repos, donc v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Alors on a x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Les fonctions de vitesse et de position sont définitivement comme ceci:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Références

1. Engler, A. 2019. Calcul intégral. Université nationale du littoral.
2. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9ème. Édition. McGraw Hill.
3. Textes gratuits de mathématiques. Les primitifs. Récupéré de: math.liibretexts.org.
4. Wikipédia. Antidérivée. Récupéré de: en.wikipedia.org.
5. Wikipédia. Intégration indéfinie. Récupéré de: es.wikipedia.org.