VECTEUR: CARACTÉRISTIQUES ET PROPRIÉTÉS, ÉLÉMENTS, TYPES, EXEMPLES - SCIENCE - 2025

Les vecteurs sont des entités mathématiques qui ont généralement une unité de mesure accompagnée d'un puits de grandeur et de direction. Ces caractéristiques sont très appropriées pour décrire des grandeurs physiques telles que la vitesse, la force, l'accélération et bien d'autres.

Avec les vecteurs, il est possible d'effectuer des opérations telles que l'addition, la soustraction et les produits. La division n'est pas définie pour les vecteurs et comme pour le produit, il existe trois classes que nous décrirons plus loin: produit scalaire ou point, produit vectoriel ou croix et produit d'un scalaire par un vecteur.

Figure 1. Les éléments d'un vecteur. Source: Wikimedia Commons.

Pour décrire complètement un vecteur, toutes ses caractéristiques doivent être indiquées. La grandeur ou module est une valeur numérique accompagnée d'une unité, tandis que la direction et le sens sont établis à l'aide d'un système de coordonnées.

Prenons un exemple: disons qu'un avion vole d'une ville à une autre à une vitesse de 850 km / h dans une direction NE. Ici, nous avons un vecteur entièrement spécifié, puisque la magnitude est disponible: 850 km / h, tandis que la direction et le sens sont NE.

Les vecteurs sont généralement représentés graphiquement par des segments de ligne orientés, dont la longueur est proportionnelle à la magnitude.

Alors que pour spécifier la direction et le sens, une ligne de référence est nécessaire, qui est généralement l'axe horizontal, bien que le nord puisse également être pris comme référence, c'est le cas de la vitesse de l'avion:

Figure 2. Un vecteur de vitesse. Source: F. Zapata.

La figure montre le vecteur vitesse du plan, noté v en gras, pour le distinguer d'une quantité scalaire, qui ne nécessite qu'une valeur numérique et une unité à spécifier.

Éléments d'un vecteur

Comme nous l'avons dit, les éléments du vecteur sont:

-Magnitude ou module, parfois aussi appelé valeur absolue ou norme du vecteur.

-Adresse

-Sens

Dans l'exemple de la figure 2, le module de v est de 850 km / h. Le module est noté v sans gras, ou - v -, où les barres représentent la valeur absolue.

La direction de v est spécifiée par rapport au nord. Dans ce cas, il est à 45 ° au nord de l'est (45 ° au nord-est). Enfin, la pointe de la flèche informe sur le sens de v.

Dans cet exemple, l'origine du vecteur a été dessinée en coïncidant avec l'origine O du système de coordonnées, c'est ce qu'on appelle un vecteur lié. En revanche, si l'origine du vecteur ne coïncide pas avec celle du système de référence, on dit qu'il s'agit d'un vecteur libre.

Il est à noter que pour spécifier complètement le vecteur, ces trois éléments doivent être notés, sinon la description du vecteur serait incomplète.

Composantes rectangulaires d'un vecteur

Figure 3. Composantes rectangulaires d'un vecteur dans le plan. Source: Wikimedia Commons. uranther

Dans l'image, nous retrouvons notre exemple de vecteur v, qui est dans le plan xy.

Il est facile de voir que les projections de v sur les axes des coordonnées x et y déterminent un triangle rectangle. Ces projections sont v _{y et} v _x et sont appelées composantes rectangulaires de v.

Une façon de désigner v par ses composantes rectangulaires est comme ceci: v =x, v _et >. Ces parenthèses sont utilisées à la place des parenthèses pour souligner le fait qu'il s'agit d'un vecteur et non d'un point, puisque dans ce cas des parenthèses seraient utilisées.

Si le vecteur est dans un espace tridimensionnel, un composant supplémentaire est nécessaire, de sorte que:

v =x, v _y, v _z >

Connaissant les pièces rectangulaires de la grandeur du vecteur est calculée, ce qui équivaut à la recherche de l'hypoténuse du triangle rectangle dont les jambes sont v _x et v _{et ,.} Au moyen du théorème de Pythagore, il s'ensuit que:

Forme polaire d'un vecteur

Lorsque la grandeur du vecteur - v - et l'angle θ qu'il forme avec l'axe de référence, généralement l'axe horizontal, sont connus, le vecteur est également spécifié. On dit alors que le vecteur est exprimé sous forme polaire.

Les composants rectangulaires dans ce cas sont facilement calculés:

D'après ce qui précède, les composantes rectangulaires du vecteur vitesse v du plan seraient:

Les types

Il existe plusieurs types de vecteurs. Il existe des vecteurs de vitesse, de position, de déplacement, de force, de champ électrique, d'impulsion et bien d'autres. Comme nous l'avons déjà dit, en physique, il existe un grand nombre de quantités vectorielles.

Concernant les vecteurs qui présentent certaines caractéristiques, on peut citer les types de vecteurs suivants:

-Null: ce sont des vecteurs dont la magnitude est 0 et qui sont notés 0. Rappelez-vous que la lettre en gras symbolise les trois caractéristiques fondamentales d'un vecteur, tandis que la lettre normale ne représente que le module.

Par exemple, sur un corps en équilibre statique, la somme des forces doit être un vecteur nul.

- Libre et lié: les vecteurs libres sont ceux dont les points d'origine et d'arrivée sont n'importe quelle paire de points dans le plan ou l'espace, contrairement aux vecteurs liés, dont l'origine coïncide avec celle du référentiel utilisé pour les décrire.

Le couple ou moment produit par un couple de forces est un bon exemple de vecteur libre, car le couple ne s'applique à aucun point particulier.

- Equipolentes: ce sont deux vecteurs libres qui partagent des caractéristiques identiques. Par conséquent, ils ont une ampleur, une direction et un sens égaux.

- Coplanaire ou coplanaire: vecteurs appartenant au même plan.

- Opposés: vecteurs de même magnitude et direction, mais de sens opposés. Le vecteur opposé à un vecteur v est le vecteur - v et la somme des deux est le vecteur nul: v + (- v) = 0.

- Concurrent: vecteurs dont les lignes d'action passent toutes par le même point.

- Curseurs: sont ces vecteurs dont le point d'application peut glisser le long d'une ligne particulière.

- Colinéaire: vecteurs situés sur la même ligne.

- Unitaire: les vecteurs dont le module est 1.

Vecteurs d'unités orthogonales

Il existe un type de vecteur très utile en physique appelé vecteur d'unité orthogonale. Le vecteur d'unité orthogonale a un module égal à 1 et les unités peuvent être quelconques, par exemple celles de vitesse, de position, de force ou autres.

Il existe un ensemble de vecteurs spéciaux qui aident à représenter facilement d'autres vecteurs et à effectuer des opérations avec eux: ce sont les vecteurs unitaires orthogonaux i, j et k, unitaires et perpendiculaires les uns aux autres.

En deux dimensions, ces vecteurs sont dirigés le long de la direction positive à la fois de l'axe des x et de l'axe des y. Et en trois dimensions, un vecteur unitaire est ajouté dans la direction de l'axe z positif. Ils sont représentés comme suit:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Un vecteur peut être représenté par les vecteurs unitaires i, j et k comme suit:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Par exemple, le vecteur vitesse v dans les exemples précédents peut s'écrire:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

La composante en k n'est pas nécessaire, puisque ce vecteur est dans le plan.

Ajout de vecteur

La somme des vecteurs apparaît très fréquemment dans diverses situations, par exemple lorsque vous souhaitez trouver la force résultante sur un objet affecté par différentes forces. Pour commencer, supposons que nous ayons deux vecteurs libres u et v sur le plan, comme le montre la figure suivante à gauche:

Figure 4. Somme graphique de deux vecteurs. Source: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Il est immédiatement transféré avec soin au vecteur v, sans modifier sa grandeur, sa direction ou son sens, de sorte que son origine coïncide avec la fin de u.

La somme vectorielle est appelée w et est dessinée à partir de u se terminant par v, selon la figure de droite. Il est important de noter que la grandeur du vecteur w n'est pas nécessairement la somme des grandeurs de v et u.

Si vous y réfléchissez bien, le seul moment où la grandeur du vecteur résultant est la somme des grandeurs des addends, c'est lorsque les deux addends sont dans la même direction et ont le même sens.

Et que se passe-t-il si les vecteurs ne sont pas libres? Il est également très facile de les ajouter. La façon de le faire est d'ajouter un composant au composant ou à une méthode analytique.

À titre d'exemple, considérons les vecteurs de la figure suivante, la première chose est de les exprimer de l'une des manières cartésiennes expliquées précédemment:

Figure 5. Somme de deux vecteurs liés. Source: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

u = <2,3>

Pour obtenir la composante x du vecteur somme w, ajoutez les composantes x respectives de v et u: w _x = 5 + 2 = 7. Et pour obtenir w _y une procédure analogue est suivie: w _y = 1 + 3. Donc:

u = <7,4>

Propriétés de l'ajout de vecteurs

-La somme de deux vecteurs ou plus donne un autre vecteur.

-Il est commutatif, l'ordre des addends n'altère pas la somme, de telle manière que:

u + v = v + u

- L'élément neutre de la somme des vecteurs est le vecteur nul: v + 0 = v

- La soustraction de deux vecteurs est définie comme la somme du contraire: v - u = v + (-u)

Exemples de vecteurs

Comme nous l'avons dit, il existe de nombreuses quantités vectorielles en physique. Parmi les plus connus, on trouve:

-Position

-Déplacement

-Vitesse moyenne et vitesse instantanée

-Accélération

-Obliger

-Montant de mouvement

-Couple ou moment d'une force

-Impulsion

-Champ électrique

-Champ magnétique

-Moment magnétique

Par contre, ce ne sont pas des vecteurs mais des scalaires:

-Temps

-Masse

-Température

-Le volume

-Densité

-Travail mécanique

-Énergie

-Chaud

-Puissance

-Tension

-Courant électrique

Autres opérations entre vecteurs

En plus de l'addition et de la soustraction de vecteurs, il y a trois autres opérations très importantes entre vecteurs, car elles donnent lieu à de nouvelles grandeurs physiques très importantes:

-Produit d'un scalaire par un vecteur.

-Le produit scalaire ou produit scalaire entre les vecteurs

-Et le produit croisé ou vectoriel entre deux vecteurs.

Produit d'un scalaire et d'un vecteur

Considérons la deuxième loi de Newton, qui stipule que la force F et l'accélération a sont proportionnelles. La constante de proportionnalité est la masse m de l'objet, donc:

F = m. à

La masse est un scalaire; pour leur part, la force et l'accélération sont des vecteurs. Puisque la force est obtenue en multipliant la masse par l'accélération, elle est le produit d'un scalaire et d'un vecteur.

Ce type de produit aboutit toujours à un vecteur. Voici un autre exemple: la quantité de mouvement. Soit P le vecteur moment, v le vecteur vitesse, et comme toujours, m est la masse:

P = m. v

Produit scalaire ou produit scalaire entre vecteurs

Nous avons placé le travail mécanique sur la liste des grandeurs qui ne sont pas des vecteurs. Cependant, le travail en physique est le résultat d'une opération entre vecteurs appelée produit scalaire, produit interne ou produit scalaire.

Laissez les vecteurs v et u, définissez le point ou le produit scalaire entre eux comme:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Où θ est l'angle entre les deux. De l'équation montrée, il s'ensuit immédiatement que le résultat du produit scalaire est un scalaire et aussi que si les deux vecteurs sont perpendiculaires, leur produit scalaire est égal à 0.

Revenons au travail mécanique W, c'est le produit scalaire entre le vecteur force F et le vecteur déplacement ℓ.

Lorsque les vecteurs sont disponibles en termes de leurs composants, le produit scalaire est également très facile à calculer. Si v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, le produit scalaire entre les deux est:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Le produit scalaire entre vecteurs est commutatif, donc:

v ∙ u = u ∙ v

Produit croisé ou produit vectoriel entre vecteurs

Si v et u sont nos deux vecteurs exemples, nous définissons le produit vectoriel comme suit:

v x u = w

Il s'ensuit immédiatement que le produit croisé aboutit à un vecteur, dont le module est défini comme:

Où θ est l'angle entre les vecteurs.

Le produit croisé n'est pas commutatif, donc v x u ≠ u x v. En fait v x u = - (u x v).

Si les deux exemples de vecteurs sont exprimés en termes de vecteurs unitaires, le calcul du produit vectoriel est facilité:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Produits croisés entre vecteurs unitaires

Le produit croisé entre des vecteurs unitaires identiques est nul, car l'angle entre eux est de 0º. Mais entre différents vecteurs unitaires, l'angle entre eux est de 90 ° et sin 90 ° = 1.

Le diagramme suivant aide à trouver ces produits. Dans le sens de la flèche, il a un sens positif et dans le sens opposé négatif:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

En appliquant la propriété distributive, qui est toujours valable pour les produits entre vecteurs plus les propriétés des vecteurs unitaires, nous avons:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Exercices résolus

- Exercice 1

Compte tenu des vecteurs:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Quel doit être le vecteur w pour que la somme v + u + w soit 6 i +8 j -10 k ?

Solution

Par conséquent, il doit être rempli que:

La réponse est: w = 9 i +7 j - 18 k

- Exercice 2

Quel est l'angle entre les vecteurs v et u dans l'exercice 1?

Solution

Nous utiliserons le produit scalaire. D'après la définition, nous avons:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

En remplaçant ces valeurs:

Références

1. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. Edité par Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6e. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Éd. Volume 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7e. Ed. Cengage Learning.