PERMUTATIONS SANS RÉPÉTITION: FORMULES, PREUVES, EXERCICES, EXEMPLES - DUDAS - 2024

Une permutation sans répétition de n éléments est constituée des différents groupes d'éléments différents qui peuvent être obtenus en ne répétant aucun élément, en variant seulement l'ordre de placement des éléments.

Pour connaître le nombre de permutations sans répétition, la formule suivante est utilisée:

Pn = n!

Lequel élargi serait Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Ainsi, dans l'exemple pratique précédent, il serait appliqué comme suit:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 numéros à 4 chiffres différents.

Il s'agit des 24 baies au total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Comme on peut le voir, il n'y a en aucun cas de répétition, étant 24 nombres différents.

Démo et formules

24 Arrangements de 4 personnages différents

Nous allons analyser plus spécifiquement l'exemple des 24 arrangements à 4 chiffres différents qui peuvent être formés avec les chiffres du nombre 2468. Le nombre d'arrangements (24) peut être connu comme suit:

Vous avez 4 options pour sélectionner le premier chiffre, cela laisse 3 options pour sélectionner le second. Deux chiffres ont déjà été définis et il reste 2 options pour sélectionner le troisième chiffre. Le dernier chiffre n'a qu'une seule option de sélection.

Par conséquent, le nombre de permutations, noté P4, est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 numéros à 4 chiffres différents

En général, le nombre de permutations ou d'arrangements différents qui peuvent être effectués avec tous les n éléments d'un ensemble donné est:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

L'expression n! il est appelé factoriel n et signifie le produit de tous les nombres naturels compris entre le nombre n et le nombre un, y compris les deux.

12 dispositions de 2 figurines différentes

Supposons maintenant que vous souhaitiez connaître le nombre de permutations ou de nombres à deux chiffres qui peuvent être formés avec les chiffres du nombre 2468.

Ce serait 12 arrangements au total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Vous avez 4 options pour sélectionner le premier chiffre, qui laisse 3 chiffres pour sélectionner le second. Par conséquent, le nombre de permutations des 4 chiffres pris deux à deux, noté 4P2, est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:

4P2 = 4 * 3 = 12 numéros à 2 chiffres différents

En général, le nombre de permutations ou d'arrangements différents qui peuvent être effectués avec r éléments des n au total dans un ensemble donné est:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

L'expression ci-dessus est tronquée avant de lire n!. Pour terminer n! à partir de là, nous devrions écrire:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Les facteurs que nous ajoutons, à leur tour, représentent une factorielle:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Donc, n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

D'ici

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Exemples

Exemple 1

Combien de combinaisons différentes de lettres de 5 lettres peuvent être construites avec les lettres du mot KEY?

Nous voulons trouver le nombre de combinaisons de lettres de 5 lettres différentes qui peuvent être construites avec les 5 lettres du mot KEY; c'est-à-dire le nombre de tableaux de 5 lettres impliquant toutes les lettres disponibles dans le mot KEY.

N ° de mots de 5 lettres = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 combinaisons différentes de 5 lettres.

Ce serait: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… jusqu'à 120 combinaisons de lettres différentes au total.

Exemple 2

Vous avez 15 balles numérotées et vous voulez savoir combien de groupes différents de 3 balles peuvent être construits avec les 15 balles numérotées?

Vous voulez trouver le nombre de groupes de 3 boules qui peuvent être faites avec les 15 boules numérotées.

N ° de groupes de 3 balles = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N ° de groupes de 3 balles = 15 * 14 * 13 = 2730 groupes de 3 balles

Exercices résolus

Exercice 1

Un magasin de fruits dispose d'un stand d'exposition composé d'une rangée de compartiments situés dans le hall d'entrée des locaux. En une journée, le maraîcher acquiert pour la vente: des oranges, des bananes, des ananas, des poires et des pommes.

a) De combien de manières différentes disposez-vous pour commander le stand d'exposition?

b) De combien de façons différentes avez-vous pour commander le stand si, en plus des fruits mentionnés (5), vous avez reçu ce jour-là: mangues, pêches, fraises et raisins (4)?

a) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander tous les fruits dans la rangée d'affichage; c'est-à-dire le nombre d'arrangements de 5 articles de fruits qui concernent tous les fruits disponibles à la vente ce jour-là.

N ° de dispositions de stand = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° de dispositions de stand = 120 façons de présenter le stand

b) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander tous les fruits dans la rangée d'affichage si 4 articles supplémentaires ont été ajoutés; c'est-à-dire le nombre d'arrangements de 9 articles fruitiers qui concernent tous les fruits disponibles à la vente ce jour-là.

N ° de disposition des stands = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° de dispositions de stand = 362880 façons de présenter le stand

Exercice 2

Un petit magasin d'alimentation dispose d'un terrain avec suffisamment d'espace pour garer 6 véhicules.

a) Combien de façons différentes de commander les véhicules sur la parcelle de terrain peuvent être sélectionnées?

b) Supposons l'acquisition d'une parcelle de terrain contiguë dont les dimensions permettent de garer 10 véhicules Combien de formes différentes de disposition des véhicules peuvent-elles être sélectionnées maintenant?

a) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander les 6 véhicules qui peuvent être logés sur le terrain.

Nombre d'aménagements des 6 véhicules = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nombre d'arrangements des 6 véhicules = 720 façons différentes de commander les 6 véhicules sur le terrain.

b) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander les 10 véhicules qui peuvent être logés dans le terrain après l'agrandissement du terrain.

N ° de dispositions des 10 véhicules = P10 = 10!

Nombre d'arrangements de véhicules = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nombre d'arrangements des 10 véhicules = 3 628 800 façons différentes de commander les 10 véhicules sur le terrain.

Exercice 3

Un fleuriste a des fleurs de 6 couleurs différentes pour faire des drapeaux floraux de nations qui n'ont que 3 couleurs. Si l'on sait que l'ordre des couleurs est important dans les drapeaux, a) Combien de drapeaux différents de 3 couleurs peuvent être fabriqués avec les 6 couleurs disponibles?

b) Le vendeur achète des fleurs de 2 couleurs supplémentaires aux 6 qu'il avait déjà, maintenant combien de drapeaux différents de 3 couleurs peuvent-ils être fabriqués?

c) Puisque vous avez 8 couleurs, vous décidez d'élargir votre gamme de drapeaux Combien de drapeaux 4 couleurs différents pouvez-vous fabriquer?

d) Combien de 2 couleurs?

a) Nous voulons trouver le nombre de drapeaux différents de 3 couleurs qui peuvent être réalisés en sélectionnant parmi les 6 couleurs disponibles.

N ° de drapeaux 3 couleurs = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° de drapeaux 3 couleurs = 6 * 5 * 4 = 120 drapeaux

b) Vous voulez trouver le nombre de drapeaux différents de 3 couleurs qui peuvent être fabriqués en sélectionnant parmi les 8 couleurs disponibles.

N ° de drapeaux 3 couleurs = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° de drapeaux 3 couleurs = 8 * 7 * 6 = 336 drapeaux

c) Le nombre de drapeaux 4 couleurs différents qui peuvent être fabriqués en sélectionnant parmi les 8 couleurs disponibles doit être calculé.

Nombre de drapeaux 4 couleurs = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Nombre de drapeaux 4 couleurs = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 drapeaux

d) Vous voulez déterminer le nombre de drapeaux 2 couleurs différents qui peuvent être fabriqués en sélectionnant parmi les 8 couleurs disponibles.

N ° de drapeaux 2 couleurs = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Nombre de drapeaux bicolores = 8 * 7 = 56 drapeaux

Références

1. Boada, A. (2017). Utilisation de la permutation avec répétition comme enseignement d'expériences. Magazine Vivat Academia. Récupéré de researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilité et statistique. Applications et méthodes. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Verre, G.; Stanley, J. (1996). Méthodes statistiques non appliquées aux sciences sociales. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiques. Quatrième éd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Oui, Ka. (2007). Probabilité et statistiques pour ingénieurs et scientifiques. Huitième éd. Salle des Prentices de Pearson Education International.
6. Webster, A. (2000). Statistiques appliquées aux entreprises et à l'économie. Troisième éd. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutation. Récupéré de en.wikipedia.org.