LIMITE DE FERMAT: EN QUOI CONSISTE-T-ELLE ET EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

La limite de Fermat est une méthode numérique utilisée pour obtenir la valeur de la pente d'une droite, qui est tangente à une fonction en un certain point de son domaine. Il est également utilisé pour obtenir les points critiques d'une fonction. Son expression est définie comme:

Il est évident que Fermat ne connaissait pas les principes fondamentaux de la dérivation, mais ce sont ses études qui ont incité un groupe de mathématiciens à se renseigner sur les lignes tangentes et leurs applications en calcul.

Quelle est la limite de Fermat?

Il consiste en une approche de 2 points, qui dans les conditions précédentes forment une ligne sécante à la fonction avec intersection en paires de valeurs.

En approchant la variable de la valeur "a", la paire de points est forcée de se rencontrer. De cette manière, la ligne précédemment sécante devient tangente au point (a; f (a)).

La valeur du quotient (x - a), lorsqu'elle est évaluée au point «a», donne une indétermination des limites de type K entre zéro (K / 0). Où, grâce à différentes techniques d'affacturage, ces indéterminations peuvent être brisées.

Les techniques d'exploitation les plus couramment utilisées sont:

-Différence des carrés (a ² - b ²) = (a + b) (a - b); L'existence de l'élément (a - b) implique dans la plupart des cas le facteur qui simplifie l'expression (x - a) dans le quotient de la limite de Fermat.

- Achèvement des carrés (ax ² + bx); Après avoir complété les carrés, un binôme de Newton est obtenu, où l'un de ses 2 facteurs est simplifié par l'expression (x - a), brisant l'indétermination.

- Conjugué (a + b) / (a ​​+ b); Multiplier et diviser l'expression par le conjugué d'un facteur peut être d'une grande aide pour briser l'indétermination.

- Facteur commun; Dans de nombreux cas, le résultat de l'utilisation du numérateur de la limite de Fermat f (x) - f (a) masque le facteur (x - a) nécessaire pour factoriser. Pour cela, il est soigneusement observé quels éléments sont répétés dans chaque facteur de l'expression.

Application de la limite de Fermat pour les maximums et minimums

Même si la limite de Fermat ne fait pas la différence entre les maximums et les minimums, puisqu'elle ne peut identifier les points critiques que selon sa définition, elle est couramment utilisée dans le calcul des plafonds ou des planchers de fonctions dans le plan.

Une connaissance de base de la théorie graphique des fonctions en conjonction avec ce théorème peut être suffisante pour établir les valeurs maximales et minimales entre les fonctions. En fait, les points d'inflexion peuvent être définis au moyen du théorème de la valeur moyenne en plus du théorème de Fermat.

La parabole cubique

Le paradoxe le plus significatif pour Fermat est venu de l'étude de la parabole cubique. Parce que son attention était dirigée vers les lignes tangentes d'une fonction pour un point donné, il s'est heurté au problème de la définition de ladite ligne tangente au point d'inflexion de la fonction.

Il semblait impossible de déterminer la ligne tangente à un point. Ainsi commence l'enquête qui donnerait lieu au calcul différentiel. Défini plus tard par d'importants représentants des mathématiques.

Maximus et minimal

L'étude des maximums et minimums d'une fonction était un défi pour les mathématiques classiques, où une méthode sans ambiguïté et pratique était nécessaire pour les définir.

Fermat a créé une méthode basée sur le fonctionnement de petites valeurs différentielles, qui après factorisation des processus, sont éliminées, laissant place à la valeur maximale et minimale recherchée.

Cette variable devra être évaluée dans l'expression d'origine pour déterminer la coordonnée dudit point, qui, avec les critères analytiques, sera définie comme le maximum ou le minimum de l'expression.

Méthode

Dans sa méthode, Fermat utilise le symbolisme littéral de Vieta, qui consistait en l'utilisation exclusive de lettres majuscules: voyelles, pour les inconnues, et consonnes pour les quantités connues.

Pour le cas des valeurs radicales, Fermat a mis en œuvre un processus particulier, qui plus tard serait utilisé dans les factorisations des limites de l'indétermination infinie entre l'infini.

Ce processus consiste à diviser chaque expression par la valeur du différentiel utilisé. Dans le cas de Fermat, il a utilisé la lettre E, où après avoir divisé par la puissance la plus élevée de E, la valeur recherchée du point critique devient effaçable.

L'histoire

La limite de Fermat est en fait l'une des contributions les moins réputées de la longue liste du mathématicien. Ses études sont passées des nombres premiers à la création de base de calcul.

À son tour, Fermat était connu pour ses excentricités par rapport à ses hypothèses. Il lui était courant de laisser une sorte de défi aux autres mathématiciens de l'époque, alors qu'il avait déjà la solution ou la preuve.

Il avait une grande variété de disputes et d'alliances avec différents mathématiciens de l'époque, qui aimaient ou détestaient travailler avec lui.

Son dernier théorème était le principal responsable de sa renommée mondiale, où il déclara qu'une généralisation du théorème de Pythagore pour n'importe quel degré «n» était impossible. Il a prétendu en avoir une preuve valable, mais est décédé avant de le rendre public.

Cette démonstration a dû attendre environ 350 ans. En 1995, les mathématiciens Andrew Wiles et Richard Taylor, mettent fin à l'angoisse laissée par Fermat, prouvant qu'il avait raison par une preuve valide de son dernier théorème.

Exercices

Exercice 1

Définir la pente de la tangente à la courbe f (x) = x ² au point (4, 16)

En substituant dans l'expression de la limite de Fermat on a:

Les facteurs (x - 4) sont simplifiés

Lors de l'évaluation, vous avez

M = 4 + 4 = 8

Exercice 2

Définir le point critique de l'expression f (x) = x ² + 4x en utilisant la limite de Fermat

Un regroupement stratégique d'éléments est effectué, cherchant à regrouper les paires XX ₀

Les moindres carrés sont développés

Observer le facteur commun XX _{0 et extraire}

L'expression peut maintenant être simplifiée et l'indétermination brisée

Aux points minimaux, on sait que la pente de la tangente est égale à zéro. De cette façon, nous pouvons égaliser l'expression trouvée à zéro et résoudre pour la valeur X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Pour obtenir la coordonnée manquante, il suffit d'évaluer le point dans la fonction d'origine

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4-8 = - 4

Le point critique est P (-2, -4).

Références

1. Analyse réelle. Une approche historique Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 août. 1999.
2. La carrière mathématique de Pierre de Fermat, 1601-1665: deuxième édition. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 juin. 2018
3. De Fermat à Minkowski: conférences sur la théorie des nombres et son évolution historique. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Dernier théorème de Fermat: une introduction génétique à la théorie algébrique des nombres. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 janvier 2000
5. Fermat Days 85: Mathématiques pour l'optimisation. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1er janvier. 1986