CONTRAINTE DE CISAILLEMENT: COMMENT ELLE EST CALCULÉE ET LES EXERCICES RÉSOLUS - PHYSIQUE - 2025

C'est ce qu'on appelle la contrainte de cisaillement qui résulte de l'application de deux forces parallèles à une surface et dans la direction opposée. De cette façon, vous pouvez diviser un objet en deux parties, faisant glisser les sections l'une sur l'autre.

Des forces de cisaillement directes sont appliquées quotidiennement sur les tissus, papiers ou métaux, exercées par des ciseaux, des guillotines ou des cisailles. Ils apparaissent également dans des structures telles que des boulons ou des vis, des chevilles, des poutres, des coins et des soudures.

Figure 1. Un effort de cisaillement est effectué avec un ciseau. Source: Pixabay

Il est nécessaire de préciser qu'il n'est pas toujours prévu de sectionner ou de couper, mais la contrainte de cisaillement a tendance à déformer l'objet sur lequel elle est appliquée; Par conséquent, les poutres soumises à une contrainte de cisaillement ont tendance à s'affaisser sous leur propre poids. Les exemples suivants clarifient ce point.

La figure 2 montre un schéma simple pour illustrer ce qui précède. C'est un objet sur lequel deux forces agissent dans des directions opposées. Il existe un plan de coupe imaginaire (non dessiné) et les forces agissent un de chaque côté du plan, coupant la barre en deux.

Dans le cas d'un ciseau: chaque lame ou tranchant applique une force sur la section transversale (circulaire) de l'objet à couper, en le séparant également en deux parties, comme la ficelle de la figure 1.

Figure 2. Les deux forces représentées exercent une force qui tend à séparer la barre en deux. Source: Adre-es

La contrainte de cisaillement peut provoquer une déformation

Vous pouvez essayer d'exercer une force de coupe en faisant glisser votre main sur la couverture d'un livre fermé. L'autre couvercle doit rester fixe sur la table, ce qui peut être réalisé en soutenant la main libre pour qu'elle ne bouge pas. Le livre se déformera un peu avec cette action, comme indiqué dans la figure suivante:

Figure 3. L'application d'une contrainte de cisaillement au livre provoque une déformation. Source: Krishnavedala

Si cette situation est soigneusement analysée, les deux forces déjà mentionnées sont remarquées, mais cette fois appliquées horizontalement (en fuchsia). L'un est celui de votre main d'un côté et l'autre est appliqué par la surface de la table sur le côté opposé du livre qui est fixe.

Le livre ne tourne pas, bien que ces forces puissent provoquer un couple ou un moment net. Pour éviter cela, il y a les deux autres forces verticales (en turquoise); celle appliquée de l'autre main et la normale exercée par la table, dont le moment net agit en sens inverse, empêchant le mouvement de rotation.

Comment la contrainte de cisaillement est-elle calculée?

Des contraintes de cisaillement apparaissent même à l'intérieur du corps humain, car le sang circulant exerce en permanence des forces tangentielles à l'intérieur des vaisseaux sanguins, provoquant de petites déformations dans les parois.

Votre considération est importante pour déterminer les chances de défaillance d'une structure. Dans les forces de cisaillement, non seulement la force est prise en compte, mais également la zone sur laquelle elle agit.

Ceci est immédiatement compris en prenant deux barres cylindriques de même longueur, faites du même matériau mais d'épaisseur différente, et en les soumettant à des contraintes croissantes jusqu'à leur rupture.

De toute évidence, les forces nécessaires seront très différentes, car une barre est plus fine que l'autre; cependant l'effort sera le même.

La contrainte de cisaillement est désignée par la lettre grecque τ (tau) et est calculée comme le quotient entre l'amplitude de la force appliquée F et l'aire A de la surface sur laquelle elle agit:

L'effort ainsi calculé est celui qui produit une force moyenne sur la surface considérée, puisque la force n'agit pas sur un seul point de la surface, mais est répartie sur l'ensemble et non uniformément. Cependant, la distribution peut être représentée par une force résultante agissant sur un point particulier.

Les dimensions des contraintes de cisaillement sont la force sur la surface. En unités du système international, ils correspondent à newton / mètre carré, une unité appelée Pascal et abrégée Pa.

Ce sont les mêmes unités de pression, de sorte que les unités anglaises de livre-force / pied ² et livre-force / pouce ² sont également appropriées.

Contrainte de cisaillement et déformation

Dans de nombreuses situations, l'amplitude de la contrainte de cisaillement est proportionnelle à la déformation provoquée dans l'objet, comme le livre d'exemple précédent, qui reviendra à ses dimensions d'origine dès que la main sera retirée. Dans ce cas:

La constante de proportionnalité dans ce cas est le module de cisaillement, le module de rigidité ou le module de cisaillement (G):

τ = G. γ

Avec γ = Δ L / L _o, où Δ L est la différence entre la longueur finale et initiale. En combinant les équations données, une expression de la déformation causée par le stress peut être trouvée:

La valeur de la constante G se trouve dans les tableaux et ses unités sont les mêmes que celles de la contrainte, car la déformation est sans dimension. La plupart du temps, la valeur de G est égale à la moitié ou au tiers de la valeur de E, le module d'élasticité.

En fait, ils sont liés par l'expression:

Où ν est le module de Poisson, autre constante élastique du matériau dont la valeur est comprise entre 0 et ½. C'est précisément pourquoi G est à son tour compris entre E / 3 et E / 2.

Exercices résolus

-Exercice 1

Une vis en acier est utilisée pour joindre deux plaques de fer, qui doivent résister à des forces de cisaillement allant jusqu'à 3200 N. Quel est le diamètre minimum de la vis si le facteur de sécurité est de 6,0? Le matériau est connu pour résister jusqu'à 170 x 10 ⁶ N / m ².

Solution

La contrainte de cisaillement à laquelle la vis est soumise provient des forces indiquées sur la figure ci-dessous. Le facteur de sécurité est une grandeur sans dimension et est lié à la contrainte maximale admissible:

Contrainte de cisaillement = F / A = contrainte maximale admissible / facteur de sécurité

Par conséquent, la zone est:

A = F x coefficient de sécurité / contrainte de cisaillement = 3200 x 6/170 x 10 ⁶ = 0,000113 m ²

La zone de la vis est donnée par nD ^deux / 4, donc le diamètre est:

D ² = 4 x A / π = 0,000144 m ²

Figure 4. Contrainte de cisaillement sur la vis. Source: self made.

D = 0,012 m = 12 mm.

-Exercice 2

Une cheville ou cheville en bois est utilisée pour empêcher la rotation de la poulie sous les contraintes T ₁ et T ₂, autour d'un axe de 3 pouces. Les dimensions des broches sont indiquées sur la figure. Trouvez l'amplitude de la contrainte de cisaillement sur le bloc, si les forces indiquées agissent sur la poulie:

Figure 5. Diagramme de corps libre par exemple 2. Source: propre élaboration.

Solution

Avec d = 1,5 pouces, donc:

Cette force provoque une contrainte de cisaillement de magnitude:

Références

1. Beer, F. 2010. Mécanique des matériaux. 5ème. Édition. McGraw Hill. 7 - 9.
2. Fitzgerald, 1996. Mécanique des matériaux. Alpha Omega. 21-23.
3. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6 ^e Ed. Prentice Hall. 238-242.
4. Hibbeler, RC 2006. Mécanique des matériaux. 6e. Édition. Pearson Education. 22-25
5. Valera Negrete, J. 2005. Notes sur la physique générale. UNAM. 87-98.
6. Wikipédia. Contrainte de cisaillement. Récupéré de: en.wikipedia.org.