ERREUR RELATIVE: FORMULES, MODE DE CALCUL, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

L' erreur relative d'une mesure, notée ε, est définie comme le quotient entre l'erreur absolue Δ X et la grandeur mesurée X. En termes mathématiques, elle reste ε _r = ΔX / X.

C'est une grandeur sans dimension, puisque l'erreur absolue partage les mêmes dimensions avec la quantité X. Elle est souvent présentée en pourcentage, dans ce cas on parle du pourcentage d'erreur relative: ε _r% = (ΔX / X). 100%

Figure 1. Chaque mesure comporte toujours un degré d'incertitude. Source: Pixabay.

Le mot «erreur» dans le contexte de la physique, n'a pas nécessairement à voir avec des erreurs, bien qu'il soit bien sûr possible qu'elles se produisent, mais plutôt avec le manque de certitude dans le résultat d'une mesure.

En science, les mesures représentent le support de tout processus expérimental et doivent donc être fiables. L'erreur expérimentale quantifie la fiabilité ou non d'une mesure.

Sa valeur dépend de divers facteurs, tels que le type d'instrument utilisé et l'état dans lequel il se trouve, si une méthode appropriée a été utilisée pour effectuer la mesure, la définition de l'objet à mesurer (le mesurande), s'il y a des défauts dans l'étalonnage des instruments, l'habileté de l'opérateur, l'interaction entre le mesurande et le processus de mesure et certains facteurs externes.

Ces facteurs font que la valeur mesurée diffère de la valeur réelle d'un certain montant. Cette différence est connue sous le nom d'incertitude, d'incertitude ou d'erreur. Chaque mesure effectuée, aussi simple soit-elle, a une incertitude associée qui cherche naturellement toujours à réduire.

Formules

Pour obtenir l'erreur relative d'une mesure, il est nécessaire de connaître la mesure en question et son erreur absolue. L'erreur absolue est définie comme le module de la différence entre la valeur réelle d'une grandeur et la valeur mesurée:

ΔX = -X _réel - X _mesuré -

De cette manière, bien que la valeur réelle ne soit pas connue, il existe un intervalle de valeurs où il est connu d'être: X _mesuré - Δx ≤ X réel ≤ X _mesuré + Δx

ΔX prend en compte toutes les sources d'erreur possibles, dont chacune doit à son tour avoir une appréciation que l'expérimentateur attribue, compte tenu de l'influence qu'elles peuvent avoir.

Les sources d'erreur possibles comprennent l'appréciation de l'instrument, l'erreur de la méthode de mesure, etc.

De tous ces facteurs, il y en a généralement certains que l'expérimentateur ne prend pas en compte, en supposant que l'incertitude introduite par eux est très faible.

Appréciation d'un instrument de mesure

La grande majorité des déterminations expérimentales nécessitant la lecture d'une échelle graduée ou numérique, l'erreur d'appréciation de l'instrument est l'un des facteurs à prendre en compte pour exprimer l'erreur absolue de la mesure.

L'appréciation de l'instrument est la plus petite division de son échelle; par exemple, la cote d'une règle millimétrique est de 1 mm. Si l'instrument est numérique, l'appréciation est le plus petit changement dont le dernier chiffre à droite est affiché à l'écran.

Plus l'appréciation est élevée, plus la précision de l'instrument est faible. Au contraire, plus l'appréciation est faible, plus elle est précise.

Figure 2. La valeur nominale de ce voltmètre est de 0,5 Volts. Source: Pixabay.

Comment l'erreur relative est-elle calculée?

Une fois la mesure X effectuée et l'erreur absolue ΔX connue, l'erreur relative prend la forme indiquée au début: ε _r = ΔX / X ou ε _r% = (ΔX / X). 100%.

Par exemple, si une mesure de longueur a été faite, ce qui a donné la valeur de (25 ± 4) cm, le pourcentage d'erreur relatif était ε _r% = (4/25) x 100% = 16%

L'avantage de l'erreur relative est qu'elle vous permet de comparer des mesures de magnitudes identiques et différentes et de déterminer leur qualité. De cette manière, on sait si la mesure est acceptable ou non. Comparons les mesures directes suivantes:

- Une résistance électrique de (20 ± 2) ohms.

- Un autre (95 ± 5) ohm.

On pourrait être tenté de dire que la première mesure est meilleure, puisque l'erreur absolue était plus petite, mais avant de décider, comparons les erreurs relatives.

Dans le premier cas, le pourcentage d'erreur relative est ε _r% = (2/20) x 100% = 10% et dans le second il était ε _r% = (5/95) x 100% ≈ 5%, auquel cas nous considérerons cette mesure de meilleure qualité, malgré une erreur absolue plus élevée.

Ce sont deux exemples illustratifs. Dans un laboratoire de recherche, le pourcentage d'erreur maximal acceptable est considéré comme compris entre 1% et 5%.

Exercices résolus

-Exercice 1

Dans l'emballage d'un morceau de bois, la valeur nominale de sa longueur est spécifiée en 130,0 cm, mais nous voulons nous assurer de la vraie longueur et en la mesurant avec un ruban à mesurer, nous obtenons 130,5 cm. Quelle est l'erreur absolue et quel est le pourcentage d'erreur relative de cette mesure unique?

Solution

Supposons que la valeur spécifiée par l'usine est la vraie valeur de la longueur. Vous ne pouvez jamais vraiment le savoir, car la mesure en usine a également sa propre incertitude. Sous cette hypothèse, l'erreur absolue est:

Notez que Δ X est toujours positif. Notre mesure est alors:

Et son pourcentage d'erreur relative est: e _r% = (0,5 / 130,5) x 100% ≈ 0,4%. Rien de mal.

-Exercice 2

La machine qui coupe les barres dans une entreprise n'est pas parfaite et ses pièces ne sont pas toutes identiques. Nous avons besoin de connaître la tolérance, pour laquelle nous mesurons 10 de vos barres avec un ruban à mesurer et oublions la valeur d'usine. Après avoir pris les mesures, les chiffres suivants sont obtenus en centimètres:

- 130.1.

- 129,9.

- 129.8.

- 130,4.

- 130,5.

- 129,7.

- 129,9.

- 129,6.

- 130,0.

- 130.3.

Quelle est la longueur d'une barre de cette usine et sa tolérance respective?

Solution

La longueur de la barre est correctement estimée comme la moyenne de toutes les lectures:

Et maintenant l'erreur absolue: puisque nous avons utilisé un ruban à mesurer dont l'appréciation est de 1 mm et en supposant que notre vue est assez bonne pour distinguer la moitié de 1 mm, l'erreur d'appréciation est fixée à 0,5 mm = 0,05 cm.

Si vous souhaitez prendre en compte d'autres sources d'erreurs possibles, parmi celles mentionnées dans les sections précédentes, un bon moyen de les évaluer est au moyen de l'écart type des mesures effectuées, que l'on peut trouver rapidement avec les fonctions statistiques d'un calculateur scientifique:

σ _n-1 = 0,3 cm

Calcul de l'erreur absolue et de l'erreur relative

L'erreur absolue Δ L est l'erreur d'appréciation de l'instrument + l'écart type des données:

La longueur de la barre est enfin:

L'erreur relative est: ε _r% = (0,4 / 130,0) x 100% ≈ 0,3%.

Références

1. Jasen, P. Introduction à la théorie des erreurs de mesure. Récupéré de: fisica.uns.edu.ar
2. Laredo, E. Laboratoire de physique I. Université Simón Bolívar. Récupéré de: fimac.labd.usb.ve
3. Prevosto, L. Sur les mesures physiques. Récupéré de: frvt.utn.edu.ar
4. Université technologique du Pérou. Manuel de laboratoire de physique générale. 47-64.
5. Wikipédia. Erreur expérimentale. Récupéré de: es.wikipedia.org