ÉNERGIE GRAVITATIONNELLE: FORMULES, CARACTÉRISTIQUES, APPLICATIONS, EXERCICES - PHYSIQUE - 2024

L' énergie gravitationnelle a un objet massif lorsqu'elle est immergée dans le champ gravitationnel produit par un autre. Quelques exemples d'objets avec une énergie gravitationnelle sont: la pomme sur l'arbre, la pomme qui tombe, la Lune en orbite autour de la Terre et la Terre en orbite autour du Soleil.

Isaac Newton (1642-1727) a été le premier à se rendre compte que la gravité est un phénomène universel et que chaque objet ayant une masse dans son environnement produit un champ capable de produire une force sur un autre.

Figure 1. La Lune en orbite autour de la Terre a une énergie gravitationnelle. Source: Pixabay

Formules et équations

La force à laquelle Newton faisait référence est connue sous le nom de force gravitationnelle et fournit de l'énergie à l'objet sur lequel elle agit. Newton a formulé la loi de la gravitation universelle comme suit:

"Soit deux objets ponctuels de masses m1 et m2 respectivement, chacun exerce sur l'autre une force d'attraction proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare."

L'énergie gravitationnelle U associée à la force gravitationnelle F est:

Un objet qui est immergé dans un champ gravitationnel a l'énergie potentielle gravitationnelle U et l'énergie cinétique K. S'il n'y a pas d'autres interactions, ou si elles sont d'intensité négligeable, l'énergie totale E dudit objet est la somme de son énergie gravitationnelle plus son énergie cinétique:

E = K + U

Si un objet se trouve dans un champ gravitationnel et qu'aucune autre force dissipative n'est présente, comme le frottement ou la résistance de l'air, l'énergie totale E est une quantité qui reste constante pendant le mouvement.

Caractéristiques de l'énergie gravitationnelle

- Un objet a une énergie potentielle gravitationnelle si ce n'est qu'en présence du champ gravitationnel produit par un autre.

- L'énergie gravitationnelle entre deux objets augmente à mesure que la distance de séparation entre eux est plus grande.

- Le travail effectué par la force gravitationnelle est égal et contraire à la variation de l'énergie gravitationnelle de la position finale par rapport à celle de sa position initiale.

- Si un corps est soumis uniquement à l'action de la pesanteur, alors la variation de son énergie gravitationnelle est égale et contraire à la variation de son énergie cinétique.

- L'énergie potentielle d'un objet de masse m qui se trouve à une hauteur h par rapport à la surface de la terre est mgh fois supérieure à l'énergie potentielle à la surface, où g est l'accélération de la pesanteur, pour des hauteurs h beaucoup plus petites que le rayon de la terre.

Champ gravitationnel et potentiel

Le champ gravitationnel g est défini comme la force gravitationnelle F par unité de masse. Il est déterminé en plaçant une particule d'essai m en chaque point de l'espace et en calculant le quotient entre la force agissant sur la particule d'essai divisée par la valeur de sa masse:

g = F / m

Le potentiel gravitationnel V d'un objet de masse m est défini comme l'énergie potentielle gravitationnelle de cet objet divisée par sa propre masse.

L'avantage de cette définition est que le potentiel gravitationnel ne dépend que du champ gravitationnel, de sorte qu'une fois le potentiel V connu, l'énergie gravitationnelle U d'un objet de masse m est:

U = mV

Figure 2. Champ gravitationnel (lignes pleines) et équi-potentiels (ligne segmentée) pour le système Terre-Lune. Source: WT Scott, Am. J. Phys.33, (1965).

Applications

L'énergie potentielle gravitationnelle est ce que les corps stockent lorsqu'ils sont dans un champ gravitationnel.

Par exemple, l'eau contenue dans un réservoir a plus d'énergie car le réservoir est plus haut.

Plus la hauteur du réservoir est élevée, plus la vitesse de l'eau sortant du robinet est élevée. Ceci est dû au fait que l'énergie potentielle de l'eau à la hauteur du réservoir est transformée en énergie cinétique de l'eau à la sortie du robinet.

Lorsque l'eau est endiguée sur une montagne, cette énergie potentielle peut être exploitée pour faire tourner des turbines de production d'électricité.

L'énergie gravitationnelle explique également les marées. Comme l'énergie et la force gravitationnelle dépendent de la distance, l'attraction gravitationnelle de la Lune est plus grande sur la face de la Terre la plus proche de la Lune que sur la face de plus en plus éloignée.

Cela produit une différence de forces qui déforme la surface de la mer. L'effet est plus grand lors d'une nouvelle lune, lorsque le soleil et la lune sont alignés.

La possibilité de construire des stations spatiales et des satellites qui restent relativement proches de notre planète est due à l'énergie gravitationnelle produite par la Terre. Sinon, les stations spatiales et les satellites artificiels se déplaceraient dans l'espace.

Potentiel gravitationnel de la Terre

Supposons que la Terre a une masse M et qu'un objet qui se trouve au-dessus de la surface de la Terre à une distance r de son centre a une masse m.

Dans ce cas, le potentiel gravitationnel est déterminé à partir de l'énergie gravitationnelle simplement divisée par la masse de l'objet résultant:

Énergie potentielle près de la surface de la terre

Supposons que la Terre ait un rayon R _T et une masse M.

Même lorsque la Terre n'est pas un objet ponctuel, le champ à sa surface est équivalent à celui qui serait obtenu si toute sa masse M était concentrée au centre, de sorte que l'énergie gravitationnelle d'un objet à hauteur h au-dessus de la surface de la Terre est

U (R _T + h) = -GM m (R _T + h) ^ - 1

Mais comme h est bien inférieur à R _T, l'expression ci-dessus peut être approximée par

U = Uo + mgh

Où g est l'accélération de la gravité, dont la valeur moyenne pour la Terre est de 9,81 m / s ^ 2.

Alors l'énergie potentielle Ep d'un objet de masse m à hauteur h au-dessus de la surface terrestre est:

Ep (h) = U + Uo = mgh

Sur la surface de la Terre h = 0, donc un objet sur la surface a Ep = 0. Les calculs détaillés peuvent être vus dans la figure 3.

Figure 3. Énergie potentielle gravitationnelle à une hauteur h au-dessus de la surface. Source: préparé par F. Zapata.

Exercices

Exercice 1: Effondrement gravitationnel de la Terre

Supposons que notre planète subisse un effondrement gravitationnel dû à une perte d'énergie thermique à l'intérieur et que son rayon tombe à la moitié de sa valeur actuelle mais que la masse de la planète reste constante.

Déterminez ce que serait l'accélération de la gravité près de la surface de la Nouvelle Terre et le poids d'un survivant pesant 50 kg-f avant l'effondrement. Augmentez ou diminuez l'énergie gravitationnelle de la personne et par quel facteur.

Solution

L'accélération de la gravité à la surface d'une planète dépend de sa masse et de son rayon. La constante de gravitation est universelle et fonctionne également pour les planètes et les exoplanètes.

Dans le cas présent, si le rayon de la Terre est réduit de moitié, alors l'accélération de la gravité de la Nouvelle Terre serait 4 fois plus grande. Les détails peuvent être vus sur le tableau ci-dessous.

Cela signifie qu'un surhomme et survivant qui pesait 50 kg-f sur l'ancienne planète pèsera 200 kg-f sur la nouvelle planète.

En revanche, l'énergie gravitationnelle aura été divisée par deux à la surface de la nouvelle planète.

Exercice 2: Effondrement gravitationnel et vitesse de fuite

En référence à la situation présentée dans l'exercice 1, qu'adviendrait-il de la vitesse de sortie: elle augmente, elle diminue, de quel facteur?

Solution 2

La vitesse de fuite est la vitesse minimale nécessaire pour échapper à l'attraction gravitationnelle d'une planète.

Pour le calculer, on suppose qu'un projectile tiré avec cette vitesse atteint l'infini avec une vitesse nulle. De plus, à l'infini, l'énergie gravitationnelle est nulle. Par conséquent, un projectile tiré avec une vitesse d'échappement aura une énergie totale nulle.

C'est-à-dire qu'à la surface de la planète au moment du tir la somme de l'énergie cinétique du projectile + l'énergie gravitationnelle doit être nulle:

½ m Ve ^ 2 - (G Mm) / R _T = 0

Notez que la vitesse d'échappement ne dépend pas de la masse du projectile et sa valeur au carré est

Ve ^ 2 = (2G M) / R _T

Si la planète s'effondre à un rayon de moitié de l'original, le carré de la nouvelle vitesse d'échappement devient double.

Par conséquent, la nouvelle vitesse d'échappement augmente et devient 1,41 fois l'ancienne vitesse d'échappement:

Aller '= 1.41 Aller

Exercice 3: Énergie gravitationnelle de la pomme

Un garçon sur le balcon d'un immeuble à 30 mètres au-dessus du sol laisse tomber une pomme de 250 g, qui après quelques secondes atteint le sol.

Figure 4. En tombant, l'énergie potentielle de la pomme se transforme en énergie cinétique. Source: PIxabay.

a) Quelle est la différence d'énergie gravitationnelle de la pomme au sommet par rapport à la pomme au niveau du sol?

b) Quelle était la vitesse de la pomme juste avant de se répandre sur le sol?

c) Qu'arrive-t-il à l'énergie une fois que la pomme est aplatie contre le sol?

Solution

a) La différence d'énergie gravitationnelle est

mgh = 0,250 kg * 9,81 m / s ^ 2 * 30 m = 73,6 J

b) L'énergie potentielle que possédait la pomme lorsqu'elle mesurait 30 m de haut est transformée en énergie cinétique au moment où la pomme atteint le sol.

½ mv ^ 2 = mgh

v ^ 2 = 2.gh

En substituant des valeurs et en résolvant, il s'ensuit que la pomme atteint le sol avec une vitesse de 24,3 m / s = 87,3 km / h.

c) Évidemment, la pomme est dispersée et toute l'énergie gravitationnelle accumulée au début est perdue sous forme de chaleur, puisque les morceaux de pomme et la zone d'impact se réchauffent, en plus une partie de l'énergie est également dissipée sous forme d'ondes sonores " éclaboussure ".

Références

1. Alonso, M. (1970). Physics Vol.1, Fonds interaméricain pour l'éducation.
2. Hewitt, Paul. 2012. Science physique conceptuelle. 5ème. Ed. Pearson.
3. Knight, R. 2017. Physique pour les scientifiques et l'ingénierie: une approche stratégique. Pearson.
4. Sears, F. (2009). University Physics Vol. 1
5. Wikipédia. Énergie gravitationnelle. Récupéré de: es.wikipedia.com
6. Wikipédia. Énergie gravitationnelle. Récupéré de: en.wikipedia.com